En mi libro dice que si el límite $\lim\limits_{n \to \infty}\prod\limits_{i=1}^n(1+\varepsilon_it)$ existe, sólo puede ser $0$ donde $0<t<1,\varepsilon_i=1\ \mbox{or}\ -1$ .
Por qué sólo puede ser cero
Respuesta
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Supongamos que el límite existe, por ejemplo $L$ y no es $0$ . Entonces
$$1= \frac{L}{L} = \lim_{n \to \infty} \frac{\prod_{i=1}^{n+1} (1+ \varepsilon_it)}{\prod_{i=1}^{n} (1+ \varepsilon_it)} = \lim_{n \to \infty} 1+ \varepsilon_nt$$
Y esto es una contradicción, porque este último límite sólo puede ser $1+t >1$ (si $\varepsilon_n = 1$ eventualmente) o $1-t<1$ (si $\varepsilon_n = -1$ eventualmente), o no existe (en caso contrario).
Por lo tanto, el límite debe ser $0$ .
En general, utilizando este argumento, se puede demostrar que si un producto infinito converge a un límite no nulo $L$ entonces los términos del producto deben converger a $1$ . Esto es similar al argumento que muestra que en una serie convergente los términos deben converger a $0$ .
