¿Es el gradiente independiente de las coordenadas?

Question

Ponte $\mathbb{R}^2$ la métrica riemanniana estándar $g=dx^2+dy^2$ y considerar una función diferenciable $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ . Voy a escribir $\nabla f_p$ para el gradiente de $f$ calculado en $p\in \mathbb{R}^2$ . Quiero entender si $g(\nabla f_p,\nabla f_p)$ es independiente de las coordenadas (la escritura $g(\nabla f_p,\nabla f_p)$ parece independiente de las coordenadas. Me explicaré mejor:

$g(\nabla f_p,\nabla f_p)$ es claramente igual a $(\partial_xf_p)^2+(\partial_y f_p)^2$ . Ahora, considere $V$ , $W$ campos vectoriales que son ortonormales en todos los puntos de un vecindario $U$ de $0\in \mathbb{R}^2$ con respecto a $g$ . ¿Es cierto? $(\partial_xf_p)^2+(\partial_y f_p)^2=(Vf_p)^2+(Wf_p)^2$ ?

Intuitivamente esto parece cierto, pero no sé cómo hacer los cálculos correctos:

Supongamos que $V=v_x\partial_x+v_y\partial_y$ y $W=w_x\partial_x+w_y\partial_y$ con $g(V,V)=v_x^2+v_y^2=1$ , $g(W,W)=w_x^2+w_y^2=1$ y $g(V,W)=v_xw_x+v_yw_y=0$ .

Entonces $(Vf_p)^2+(Wf_p)^2=(\partial_xf_p)^2(v_x^2+w_x^2)+(\partial_yf_p)^2(v_y^2+w_y^2)+2\partial_xf\partial_yf(v_xv_y+w_xw_y)$ que no parece igual a $(\partial_xf)^2+(\partial_yf)^2$ ... ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Lo que olvidas es que si las columnas de una matriz son ortonormales, las filas también lo son. Así que no hay nada malo en tu cálculo :)

Answer 2

Por definición, el gradiente de una función suave $f$ definida en una variedad riemanniana $(M,g)$ es el campo vectorial que es métricamente equivalente a la diferencial ${\rm d}f$ es decir, es el campo vectorial ${\rm grad}\,f$ tal que $${\rm d}f(X) = g({\rm grad}\,f,X)$$ para todo campo vectorial $X$ . Está claro que esto no depende de las coordenadas. La notación $\nabla f$ para el gradiente no es demasiado bueno en este caso, ya que si $\nabla$ es una conexión lineal en $M$ tenemos $\nabla_Xf = X(f) = {\rm d}f(X)$ Así que $\nabla f = {\rm d}f$ en su lugar (en $\Bbb R^n$ Estamos identificando ${\rm grad}\,f$ y ${\rm d}f$ ).

En coordenadas $x^1,\cdots,x^n$ , si $g_{ij} = g\big(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\big)$ tenemos $${\rm grad}\,f = \sum_{i,j=1}^n g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial x^i},$$ donde $(g^{ij})$ es la matriz inversa de $(g_{ij})$ que existe desde $g$ es no degenerado. Si $M = \Bbb R^n$ y trabajamos con coordenadas cartesianas para que $g_{ij} = \delta_{ij}$ La expresión la obtenemos de los primeros cursos de cálculo.

Para resumir: $g({\rm grad}\,f,{\rm grad}\,f)$ es independiente de las coordenadas. No estás haciendo nada malo.