Por qué es esta identidad verdadera muy confusa.

Question

$-\dfrac{x}{y}\dfrac{dy}{dt}=y\dfrac{d}{dt}\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)-\dfrac{dx}{dt} $

Si trato de resolver el lado derecho obtengo $\dfrac{y}{y}\dfrac{dx}{dt}-\dfrac{dx}{dt}+yx\dfrac{d}{dt}\dfrac{1}{y}$

o si tomo el $1/y$ fuera y poner el $y$ dentro me sale la versión + de la izquierda. Cómo es esto correcto esto es en un libro.

Answer 1

Es una reorganización de $$ \frac{d}{dt}\left(\frac xy\right)=\frac{y\frac d{dt} x-x\frac d{dt}y}{y^2} $$

Answer 2

Suponiendo que ambos $\;x,y\;$ son funciones de $\;t\;$ En el lado derecho tenemos :

$$y\frac d{dt}\left(\frac xy\right)-x'\stackrel{\text{Quotient rule}}=y\frac{x'y-xy'}{y^2}-x'=\require{cancel} \cancel{x'}-\frac{xy'}y-\cancel{x'}=\color{red}{-\frac{xy'}y}$$

y en el lado izquierdo:

$$-\frac xyy'=\color{red}{-\frac{xy'}y}$$