Teorema de la función implícita que implica $\cos$ función

Question

Tengo que demostrar que existe una función única $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfaga lo siguiente $\forall x \in \mathbb{R}$

$x^2f(x)^3+2f(x)=\cos(f(x))$

Mi intento:

Dado que me han enseñado literalmente dos o tres problemas sencillos relativos a este teorema, todavía no estoy entrenado en el arte de usar este teorema.

Así, defino una nueva función como $F(x,y) = x^2y^3+2y-\cos(y)$

Para aplicar el teorema debería encontrar $(x_0,y_0)$ tal que $F(x_0,y_0)=0$ y la matriz que consta de derivadas parciales por $y$ es regular. $1x1$ matriz en este caso: $3x^2y^2 + 2 + \sin(y) \neq 0$

Entonces puedo concluir que tal función existe, por supuesto $:A \rightarrow B$ donde $A$ es un conjunto abierto alrededor de $x_0$ y $B$ es un conjunto abierto alrededor de $y_0$ .

Sé que no necesito determinar explícitamente la función, sólo demostrar que existe. Pero no estoy seguro de cómo hacerlo, ¡cualquier pista sería apreciada! Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos que demostrar que, para un $x$ la ecuación en $y$ : $$x^2y^3 + 2y -\cos (y) =0 $$ tiene una solución única.

Tomemos $f(y)=x^2y^3 + 2y -\cos (y)$ . Entonces la derivada $f'(y)=3x^2y^2 + 2 + \sin (y) \gt 0$ por lo tanto $f$ es estrictamente creciente, por lo que la ecuación $f(y)=0$ puede tener una solución como máximo. Ahora sólo hay que observar que los límites en $-\infty$ y $+\infty$ de $f$ son $-\infty$ y $+\infty$ respectivamente para concluir que hay una solución para $f(y)=0$ .