¿En qué medida la cohomotopía es dual a la homotopía?

Question

¿Hasta qué punto podemos dualizar los teoremas relativos a la homotopía en teoremas sobre la cohomotopía (o existe una buena fuente que trate de hacerlo)?

Por ejemplo, ¿existe algún tipo de teorema de Hurewicz que relacione la cohomotopía y la cohomología ordinaria? ¿Existe una "propiedad de extensión de la cohomotopía" (algo que se aplica cuando los grupos de cohomotopía relativos son triviales)? Si dos espacios son cohomológicamente equivalentes y tienen alguna propiedad en cohomotopía análoga a la simplemente conectada, ¿son equivalentes en cohomotopía?

Gracias, esto es principalmente una solicitud de referencia, sin embargo existe la posibilidad de que todo esto sea imposible por lo que no existe tal referencia, lo que también sería una respuesta aceptable.

Answer 1

Los grupos de homotopía pueden escribirse como funtores invariantes de homotopía covariante $\pi_n:\mathrm{Top}_\ast\to\mathrm{Set}$ . Si consideráramos funtores homotópicos invariantes contravariantes $\pi^n:\mathrm{Top}_\ast^{op}\to\mathrm{Set}$ obtendríamos los conjuntos de cohomotopía. ¿Cómo es de dual? Bien, $\pi^n(S^m)=\pi_m(S^n)$ . Si $X$ es un complejo CW de dimensión (como máximo) $n$ entonces $\pi^p(X)\to H^p(X)$ es una biyección. Véase el nlab . En cuanto a si existe o no una "propiedad de extensión de cohomotopía", no lo sé; ¡parece algo interesante!

Answer 2

Toda la homología/cohomología es con coeficientes enteros.

El mapa de Hurewicz que buscas se define así, creo: dada una clase de homotopía $f:X\rightarrow S^n$ y $[u]\in H^n(S^n)$ se obtiene $f^*[u]\in H^n[X]$ . Si toma ahora $[u]$ para ser el generador positivo de $H^n(S^n)\cong \mathbb{Z}$ se obtiene un bonito mapa $h:\pi^n\rightarrow H^n(X)$ .

Si $X$ es un $n$ -complejo CW de dimensiones cualquier mapa en un $n+k$ -(por ejemplo, una esfera n+k dim) es homotópicamente trivial. Combinando esto con la observación de que $pi^n\cong H^n(X)$ para $n$ -de las variedades cerradas vemos que $\pi^l(X)\cong H^l(X)$ para todos $l\geq n$ para $n$ de las dimensiones de los manifiestos cerrados. Además $\pi^0(X)$ mide el número de componentes conectados de $X$ y como $S^1$ es un $K(\mathbb{Z},1)$ tenemos que $\pi^1(X)\cong H^1(X)$ .