Mapa de $\mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^2$

Question

Que el mapa $\varphi_n:\mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^2$ se define por $t\rightarrow(t^2,t^n)$ .

-Demostrar que si n es par, la imagen de $\varphi_n$ es isomorfo a $\mathbb{A}^1$ y $\varphi_n$ está a 2:1 de 0.

-Demostrar que si n es impar, $\varphi_n$ es biyectiva, y dar una inversa racional de la misma.

Para el caso par: Creo que he demostrado que $\varphi_n$ es exactamente 2:1, y creo que he demostrado que la curva estándar dada por $y=x^{\frac n2}$ es la imagen de $\varphi_n$ . ¿Cómo puedo demostrar que esto es isomorfo a $\mathbb{A}^1$ ?

Para el caso impar: No estoy muy seguro de por dónde empezar aquí, he utilizado el mismo proceso que para el caso par, y creo que la función $t=\frac{y}{x^m}$ donde $(x,y)=(t^2,t^n)=(t^2,t^{2m+1})$ para algún m. ¿Cómo demostrar que esto es biyectivo? ¡Gracias por cualquier ayuda que podáis ofrecerme!

Answer 1

0) En primer lugar, es probable que quieras asumir que el campo base es algebraicamente cerrado: si el campo base es $\mathbb R$ y $n=2$ la imagen de $\phi_2$ ¡ni siquiera es algebraico! Así que supongamos que $k=\bar k$ .

1) $\textbf n=2k$ incluso
Está claro que la imagen de $\phi_n$ es la curva $A_n\subset \mathbb A^2$ con la ecuación $y=x^k$ obviamente es isomorfo a $\mathbb A^1$ ya que es el gráfico de $\mathbb A^1 \to \mathbb A^1: z\mapsto z^k$ .
Que el mapa es $2:1$ lejos de cero también es fácil: dado un punto $(x,x^k)\in A_n$ elegir una raíz cuadrada $\xi\in k$ de $x$ y comprobar que la preimagen de su punto es el conjunto $\{\xi, -\xi\}$ .

2) $\textbf n=2k+1$ impar
El morfismo $\phi_n$ es una biyección sobre la curva con ecuación $y^2=x^n$ .
La biyección inversa se restringe a un isomorfismo $\psi_n: C\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb A^1\setminus \{0\}:(x,y)\mapsto \frac {y}{x^k}$ lo que demuestra que $\phi_n$ es un morfismo biracional.
Sin embargo, no sólo puede $\psi_n$ no se extienda regularmente a toda la $C_n$ pero $C_n$ no es isomorfo a $\mathbb A^1$ bajo cualquier isomorfismo porque $C_n$ es singular (con $(0,0)$ como una singularidad), mientras que $\mathbb A^1$ es regular.

Answer 2

Para el caso par, está demostrando que la imagen es isomorfa a $\mathbb{A}^1$ . No es necesario (ni cierto) que $\varphi_n$ es el isomorfismo. De hecho, su respuesta casi contiene el mapa de $\mathbb{A}^1$ a $\varphi_n(\mathbb{A}^1)$ y el mapa en la otra dirección. (Tendrás que comprobar que son inversos mutuos, por supuesto).

En el caso de impar, creo que quieres demostrar que es biyectiva sobre su imagen ( $\varphi_n$ no es suryente hacia $\mathbb A^2$ porque $|y|$ se determina por $|x|$ ). Elige un punto $(x,y)$ a imagen y semejanza de $\varphi_n$ . Utilizando lo que ha dicho en su pregunta, tiene que demostrar que $\frac{y}{x^m} = \frac{t^{2m+1}}{(t^2)^m}$ le da un inverso al mapa $\varphi_n$ .