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¿Puede el algoritmo QR encontrar los valores propios repetidos ( https://en.wikipedia.org/wiki/QR_algorithm ) ? Es decir, ¿admite el caso de que no todos los N valores propios de la matriz real N x N sean distintos?
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¿Cómo ampliar el algoritmo QR para encontrar valores propios complejos?
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¿Es posible ampliar el algoritmo QR para que funcione con matrices de rango no completo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
dantopa
Puntos
111
Resumen
La descomposición QR resuelve todos sus tipos de matriz.
a) Valores propios repetidos
Los tres valores propios de $\mathbf{A}$ son $$ \lambda \left( \mathbf{A} \right) = \left\{ 1, 1, 1 \right\} $$ La descomposición es $$ \begin{align} \mathbf{A} &= \mathbf{Q\,R} \\ % A \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] &= % Q \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] % R \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] % \end{align} $$
b) Valores propios complejos
Los tres valores propios de $\mathbf{A}$ son $$ \lambda \left( \mathbf{A} \right) = \left\{ 1 + 2 i, 1 - 2 i \right\} $$ La descomposición es $$ \begin{align} \mathbf{A} &= \mathbf{Q\,R} \\ % A \left[ \begin{array}{cr} 3 & -2 \\ 4 & -1 \\ \end{array} \right] &= % Q \frac{1}{5} \left[ \begin{array}{rc} 3 & 4 \\ -4 & 3 \\ \end{array} \right] % R \left[ \begin{array}{cr} 5 & -2 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] % \end{align} $$
c) Matrices con defecto de rango
La siguiente matriz tiene rango $\rho = 1$ por lo que la matriz tiene un defecto de rango de fila y de columna.
La descomposición es $$ \begin{align} \mathbf{A} &= \mathbf{Q\,R} \\ % A \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right] &= % Q \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right] % R \left[ \begin{array}{crc} \sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \end{array} \right] % \end{align} $$
