¿Cómo encontrar la suma de las siguientes series infinitas?

Question

Necesito encontrar el valor de la suma de la serie $$\dfrac{\pi^3}{3!} - \dfrac{2\pi^5}{5!} +\dfrac{3\pi^7}{7!} - \cdots$$ . Sé que la respuesta es $\pi/ 2$ pero no sé cómo proceder. Cualquier pista sobre esto será de gran ayuda, gracias.

Answer 1

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...=\sin{x}$$ o $$\frac{x^2}{3!}-\frac{x^4}{5!}+...=\frac{x-\sin{x}}{x},$$ que da $$\frac{2x}{3!}-\frac{4x^3}{5!}+...=\left(\frac{x-\sin{x}}{x}\right)'$$ ¿Puedes terminar ahora?

Answer 2

$$S=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{n(-1)^{n-1}y^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$2S=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+1-1)(-1)^{n-1}y^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{i^{2n-2}y^{2n+1}}{(2n)!}-\sum_{n=0}^\infty\dfrac{i^{2n-2}y^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$=\dfrac{y}{i^2}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(iy)^{2n}}{(2n)!}-\dfrac1{i^3}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(iy)^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$=-y\cdot\dfrac{e^{iy}+e^{-iy}}2+i\dfrac{e^{iy}-e^{-iy}}2$$

$$=-y\cos y-\sin y$$

utilizando $e^x=\sum_{r=0}^\infty\dfrac{x^r}{r!},$

$e^x+e^{-x}=?,e^x-e^{-x}=?$

Aquí $y=\pi$