Consideremos la acción libre de un grupo abeliano finito $G = G_1 \oplus G_2$ en un colector $X$ . ¿Es cierto que $X/G$ es difeomorfo a $(X/G_1)/G_2$ ?
Respuesta
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wspin
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Sí, es cierto (más genéricamente para acciones libres de grupos de mentira compactos): Sea $[x]_1$ denotan la clase de equivalencia de la acción de $G_1$ a través de $h.x = (h,e_2)x$ , donde $e_i$ es el elemento de identidad de $G_i$ .
Primero la acción de $G_2$ en $X/G_1$ a través de $g.[x]_1 = [(e_1,g).x]_1$ está bien definido y es libre, lo que es fácil de comprobar. Dejemos que sus clases de equivalencia se denoten $[\ ]_2$ . Así que los espacios $X/G$ y $(X/G_1)/G_2$ ambos tienen una estructura natural suave. Un difeomorfismo $f : X/G \to (X/G_1)/G_2$ viene dado simplemente por $$[x] \mapsto [[x]_1]_2.$$ Esto es cierto en general. Sin embargo, en su caso esto es muy fácil de comprobar: como los grupos son finitos las proyecciones $p : X \to X/G$ y $\pi : X \to (X/G_1)/G_2$ son difeomorfismos locales. También es evidente que $f \circ p = \pi$ . Sea $p \in X$ y $U$ sea una vecindad tal que $p$ y $\pi$ restringido a $U$ son difeomorfismos sobre sus imágenes. Entonces $f_{p(U)} \circ p_U = \pi_U$ o $f_{p(U)} = \pi_{U} \circ (p_U)^{-1}$ Es decir $f$ es un difeomorfismo local. Es fácil comprobar que $f$ es de hecho biyectiva, por lo que es un difeomorfismo.
En general se puede considerar el mapa $f$ en gráficos obtenidos de cortes de la acción para ver que es un difeomorfismo.
