Estoy tratando de seguir esta demostración de la continuidad de la función $f(x)=3x+4$ usando Delta epsilon.
https://www.youtube.com/watch?v=WzOl_MwATf4
En el minuto 5:29, escrito en verde, una desigualdad cambia repentinamente a una igualdad y no estoy seguro por qué.
Parecería que para que se cumpla la definición, necesitarías $$|f(y)-f(x)|<\epsilon$$ no $$|f(y)-f(x)|=\epsilon$$
E incluso si eso fuera válido, no estoy seguro de cómo llegó ahí.
¿Es esto correcto? Si es así, ¿por qué?
Lo que estás viendo es una larga cadena de relaciones que se leerían de izquierda a derecha si el espacio lo permitiera: $$ |f(y) - f(x)| = |(3y+4)-(3x+4)| = |3y-3x| = 3 |y-x| < 3 \delta = 3\cdot \frac{\epsilon}{3} = \epsilon $$ Cada relación relaciona solo las dos expresiones a cada lado. Dado que $\delta = \frac{\epsilon}{3}$, sabemos que $3 \delta = 3\cdot \frac{\epsilon}{3}$ en el paso anterior al último.
Pero como dicen, "una cadena es tan fuerte como su eslabón más débil". Así que ignorando los pasos intermedios por transitividad, tenemos $$ |f(y) - f(x)| < \epsilon $$ y eso es exactamente lo que se quería demostrar.
Hi, gracias, ¿por qué no está escrito $ | f (y) f (x) | = | (3y + 4) (3x + 4) | = | 3y3x | = | 3 (yx) | <3 \delta <3 \epsilon 3 < \ epsilon $
Ignora el menos epsilon en la última parte, no puedo quitarlo por alguna razón, me refería solo a epsilon
@JoaquinBrandan Porque $\delta$ no es menor que $\frac{\epsilon}{3}$; es igual a eso. Y eso es un guión largo (–) al final que separa tu comentario de tu firma, no un signo de menos ($-$).
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De la imagen, parece que el autor fijó un $\varepsilon>0$ arbitrario y definió $\delta := \frac{\varepsilon}{3}$. Por lo tanto, la igualdad
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Hola, eso es lo que hizo, pero no estoy segura de por qué eso conduce a una igualdad, ¿tal vez estoy perdiendo algún concepto en la definición?
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Eso $3\cdot\frac{\epsilon}{3}$ se refiere a $3\delta$. No significa que $<$ sea reemplazado por $=$.
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Oh no me refiero a eso, me refiero a las flechas rojas, la primera es una desigualdad, después el autor define delta como $\epsilon / 3$, luego de hacer eso reemplaza delta por $\epsilon / 3$ en la segunda flecha roja, y ahí cambia la desigualdad de la primera flecha roja por una igualdad.