En esta prueba de continuidad de épsilon delta, ¿por qué las desigualdades se convierten en igualdades?

Question

Estoy tratando de seguir esta demostración de la continuidad de la función $f(x)=3x+4$ usando Delta epsilon.

https://www.youtube.com/watch?v=WzOl_MwATf4

En el minuto 5:29, escrito en verde, una desigualdad cambia repentinamente a una igualdad y no estoy seguro por qué.

Parecería que para que se cumpla la definición, necesitarías $$|f(y)-f(x)|<\epsilon$$ no $$|f(y)-f(x)|=\epsilon$$

E incluso si eso fuera válido, no estoy seguro de cómo llegó ahí.

¿Es esto correcto? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Lo que estás viendo es una larga cadena de relaciones que se leerían de izquierda a derecha si el espacio lo permitiera: $$|f(y) - f(x)| = |(3y+4)-(3x+4)| = |3y-3x| = 3 |y-x| < 3 \delta = 3\cdot \frac{\epsilon}{3} = \epsilon$$ Cada relación relaciona solo las dos expresiones a cada lado. Dado que $\delta = \frac{\epsilon}{3}$, sabemos que $3 \delta = 3\cdot \frac{\epsilon}{3}$ en el paso anterior al último.

Pero como dicen, "una cadena es tan fuerte como su eslabón más débil". Así que ignorando los pasos intermedios por transitividad, tenemos $$|f(y) - f(x)| < \epsilon$$ y eso es exactamente lo que se quería demostrar.