Establezca la integral para el volumen encontrado al girar la región delimitada por las curvas $x=y+1$ y $x=-y^2+2y+3$ sobre la línea $x=-1$

Question

Establezca la integral para el volumen encontrado al girar la región delimitada por las curvas $x=y+1$ y $x=-y^2+2y+3$ sobre la línea $x=-1$ . Gracias. No sé cómo resolverlo sobre la línea x=-1. Podría hacerlo sobre el eje x o y pero lo de x=-1 me confunde y no sé cómo configurarlo

Answer 1

Integra el área (que supongo que puedes encontrar que es (-y^2 + 2y + 3) - (y+1)) desde el límite inferior (primera intersección de y+1 y la ecuación más larga) hasta el límite superior (segunda intersección de las dos ecuaciones) y yo utilizaría el método de la arandela así que pi(área+1)^2 - pi((y+1)+1)^2 la razón por la que añadimos uno al área es porque si te imaginas que el objeto gira alrededor de x=-1 puedes ver que hay un volumen 'extra' formado por la revolución que de otra manera no estaría presente si estuviera en x=0.

Answer 2

Parece que es más fácil hacer la integral con respecto a $y.$ es decir, utilizamos el método de la lavadora. el rango de $y$ es de $-1$ a $2$ el radio interior es $1 + x_l = 1 + y + 1= 2 + y.$ el radio exterior es $1 + x_r = 1 -y^2 + 2y + 3 = 4 + 2y - y^2.$ juntando todo esto, tenemos $$V = \pi\int_{-1}^2 \left((4+2y-y^2)^2-(2+y)^2 \right)\, dy$$