¿Por qué la corrección perturbadora de segundo orden de la energía del estado base siempre es baja?

Question

¿Cuál es la razón física/profunda de la de segundo orden Desplazamiento de la energía del estado básico en el tiempo independiente teoría de la perturbación para estar siempre abajo?

Sé que se desprende de la fórmula de forma bastante directa, pero no pude encontrar una razón más profunda para ello, incluso si tomara ejemplos como el efecto Stark lineal.

¿Podría decirme por qué?

Answer 1

I) El descenso de la energía del estado básico es un caso especial del fenómeno más general de nivel de repulsión (porque los niveles de energía excitada, por definición, deben ser mayores que la energía del estado básico).

II) La repulsión de niveles no es sólo un fenómeno cuántico. También ocurre en sistemas puramente clásicos, por ejemplo, dos osciladores acoplados, como se menciona en el enlace.

III) Matemáticamente, los elementos no diagonales no nulos ("las interacciones") de un $n\times n$ Matriz hermitiana $(H_{ij})_{1\leq i,j \leq n}$ ("el hamiltoniano") causan los valores propios reales $E_1$ , $\ldots$ , $E_n$ (contados con multiplicidad) para, vagamente hablando, repartir más que la distribución de los elementos diagonales $H_{11}$ , $\ldots$ , $H_{nn}$ . Este efecto de repulsión de los valores propios está codificado, por ejemplo, en el Teorema de Schur-Horn .

IV) Tal vez una comprensión más física de la repulsión de niveles sea la siguiente. Al considerar un problema de perturbación $H=H^{(0)}+V$ nos gustaría encontrar los verdaderos estados propios de energía $|1 \rangle$ , $\ldots$ , $|n \rangle$ con valores propios de energía $E_1$ , $\ldots$ , $E_n$ . A priori sólo conocemos los estados propios de energía no perturbados $|1^{(0)} \rangle$ , $\ldots$ , $|n^{(0)} \rangle$ con valores propios de energía $H_{11}$ , $\ldots$ , $H_{nn}$ . (En aras de la simplicidad, hemos supuesto que la parte de la interacción $V$ no tiene ninguna parte diagonal. Esto siempre es posible mediante la reorganización de $H^{(0)} \leftrightarrow V$ .) Así, un estado propio de energía no perturbado

$$|i^{(0)} \rangle ~=~ \sum_{j=1}^n |j \rangle~ \langle j |i^{(0)} \rangle$$

es realmente una combinación lineal de los verdaderos estados propios de energía $|1 \rangle$ , $\ldots$ , $|n \rangle$ . El cuadrado de los solapamientos $\langle j |i^{(0)} \rangle$ tiene una interpretación probabilística

$$ \sum_{j=1}^n |\langle j |i^{(0)}\rangle|^2 ~=~\langle i^{(0)}|i^{(0)}\rangle ~=~1. $$

Por lo tanto, el valor propio de energía no perturbado

$$H_{ii}~=~\langle i^{(0)}|H|i^{(0)}\rangle ~=~\sum_{j=1}^n E_j|\langle j |i^{(0)}\rangle|^2 $$

es una media cuántica de los verdaderos valores propios de energía $E_1$ , $\ldots$ , $E_n$ del sistema. Intuitivamente, el distribución de los valores propios de energía no perturbados $H_{11}$ , $\ldots$ , $H_{nn}$ por lo que, en términos generales, deben estar más cerca entre sí que la distribución de los verdaderos valores propios de energía $E_1$ , $\ldots$ , $E_n$ .

V) Por último, mencionemos que la repulsión de los valores propios desempeña un papel importante en teoría de las matrices aleatorias . La integración de la f.d. "angular" conduce a una Vandermonde factor de medida

$$ \prod_{1\leq i<j \leq n} |E_j-E_i|^{\beta}, $$

para que la función de partición ${\cal Z}$ favorece que los valores propios $E_1$ , $\ldots$ , $E_n$ son diferentes. Aquí el poder $\beta$ es tradicionalmente $1$ , $2$ o $4$ dependiendo del conjunto de matrices aleatorias. Para las matrices hermitianas $\beta=2$ . Ver también este puesto.

Answer 2

La verdadera razón es el operador de "perturbación" $\hat{V}$ siendo accidentalmente hermitiana (autoconjugada) en el espacio lineal del hamiltoniano no perturbado $\hat{H}_0$ en muchos casos prácticos: $V_{mn}=V_{nm}^*.$

Generalmente, una teoría de perturbación desarrolla una función $f$ en una serie de Taylor en potencias de un parámetro pequeño, digamos, $\varepsilon$ y esta función no está obligada a tener su segunda derivada de signo negativo en el punto de expansión $\varepsilon = 0$ . La función $f(\varepsilon)$ puede ser cóncavo o convexo en el punto de expansión.

En términos de operadores, el Hamiltoniano total $\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}$ debe ser hermitiana en el espacio lineal de sus funciones propias exactas $\varphi_n$ no en el espacio lineal del Hamiltoniano no perturbado $\hat{H}_0$ . Así, el operador de perturbación $\hat{V}$ puede ser no hermético en el espacio de las funciones propias no perturbadas $\varphi_n^{(0)}$ . Entonces, la corrección de segundo orden puede tomar un signo positivo.

Me encontré con un ejemplo así en mi consulta. Verlo aquí El capítulo 2.1.