Tengo que calcular $(3 + 3i)^{829}$
Lo que hice:
$$|3 + 3i| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}$$
El argumento de $3 + 3i$ es $45º$ .
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user299698
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Tenga en cuenta que $3+3i=3(1+i)=3\sqrt{2}e^{i\pi/4}=\sqrt{18}e^{i\pi/4}$ . Por lo tanto, $$(3+3i)^{829}=18^{829/2}\cdot e^{i\pi/4\cdot 829}= 18^{829/2}\cdot e^{i\pi/4\cdot (103\cdot 8+5)}= 18^{829/2}\cdot e^{i5\pi/4}$$ porque $829=103\cdot 8+5$ y $(e^{i\pi/4})^8=e^{8i\pi/4}=e^{2\pi i}=1$ .
P.D. Echa un vistazo a este ejercicio similar: Forma polar de los números complejos
La clave está en el título: hay que escribir el número en forma polar: $$x+\mathrm i y = r(\cos\theta+\mathrm i \sin\theta)$$ donde $r$ es el módulo de $x+\mathrm i y$ y $\theta$ es el argumento.
En su caso, tiene $x + \mathrm i y = 3 + 3\mathrm i$ .
El módulo viene dado por $\left|3+3\mathrm i\right|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ .
Desde $3+3\mathrm i$ se encuentra en la línea $y=x$ y está en el cuadrante superior derecho. El argumento viene dado por $\arg(3+3\mathrm i)=\frac{1}{4}\pi$ .
Esto significa que $r=3\sqrt{2}$ y $\theta=\frac{1}{4}\pi$ y por lo tanto $$3+3\mathrm i = 3\sqrt{2}\left(\cos(\tfrac{1}{4}\pi)+\mathrm i \sin(\tfrac{1}{4}\pi)\right)$$
Teorema de De Moivre dice es que $(\cos \theta + \mathrm i \sin \theta)^n = \cos (n\theta) + \mathrm i \sin (n\theta)$ .
De ello se desprende que \begin{eqnarray*} (3+3\mathrm i)^{829} &=& (3\sqrt 2)^{829}\left(\cos(\tfrac{829}{4}\pi)+\mathrm i \sin(\tfrac{829}{4}\pi)\right) \end{eqnarray*}
Las funciones seno y coseno son $2\pi$ -periódicas, es decir, que se repiten cada $2\pi$ y así $\sin(x+2\pi)\equiv \sin x$ al igual que $\cos(x+2\pi) \equiv \cos x$ para todos los reales $x$ . Podemos restar múltiplos de $2\pi=\frac{8}{4}\pi$ de $\frac{829}{4}\pi$ sin cambiar los valores del seno y del coseno.
Desde $829 = 4 \times 206 + 5$ se deduce que $\frac{829}{4} = 206 + \frac{5}{4}$ y por lo tanto $\frac{829}{4}\pi = 206\pi + \frac{5}{4}\pi$ .
Dado que el seno y el coseno son $2\pi$ periódico:
\begin{eqnarray*} \cos(\tfrac{829}{4}\pi) &=& \cos(206\pi + \tfrac{5}{4}\pi) \\ \\ &=& \cos(\tfrac{5}{4}\pi) \\ \\ \sin(\tfrac{829}{4}\pi) &=& \sin(206\pi + \tfrac{5}{4}\pi) \\ \\ &=& \sin(\tfrac{5}{4}\pi) \end{eqnarray*}
De ello se desprende que \begin{eqnarray*} (3\sqrt 2)^{829}\left(\cos(\tfrac{829}{4}\pi)+\mathrm i \sin(\tfrac{829}{4}\pi)\right) &=& (3\sqrt 2)^{829}\left(\cos(\tfrac{5}{4}\pi)+\mathrm i \sin(\tfrac{5}{4}\pi)\right) \\ \\ &=& (3\sqrt 2)^{829}\left(-\tfrac{1}{\sqrt 2}-\tfrac{1}{\sqrt 2}\,\mathrm i \right) \\ \\ &=& -3^{829}\times 2^{414} \times (1+\mathrm i) \end{eqnarray*}
Esta cifra es enorme y no debería anotarse.
