Encuentra una matriz $4\times 4$ $A$ donde $A\neq I$ y $A^2 \neq I$, pero $A^3 = I$.

Question

Dé un ejemplo de una matriz $4 \times 4$ donde $A \neq I$, $A^2 \neq I$, y $A^3 = I.

Encontré una matriz $2 \times 2$ donde $A \neq I$ y $A^2 = I$, pero este problema es más complejo y me tiene completamente atascado.

Answer 1

Aquí hay un ejemplo de $2\times2$ $$ \begin{bmatrix} -\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12 \end{bmatrix}\tag{1} $$ Esto funciona porque es una representación en matriz de $e^{2\pi i/3}=-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}$; es decir, una rotación por $\frac{2\pi}{3}$. Por lo tanto, al elevarlo al cuadrado obtenemos otro ejemplo de $2\times2$ $$ \begin{bmatrix} -\frac12&-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12 \end{bmatrix}\tag{2} $$ $(1)$ y $(2)$ pueden ser fácilmente extendidos a ejemplos de $4\times4$ de muchas maneras. Aquí hay uno usando $(1)$: $$ \begin{bmatrix} -\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&0&0\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac12&0&0\\ 0&0&\hspace{7pt}1\hspace{7pt}\vphantom{-\frac12}&0\\ 0&0&0&\hspace{5pt}1\hspace{5pt}\vphantom{-\frac12} \end{bmatrix}\tag{3} $$

Otro ejemplo de matriz $2\times2$:

Como Hagen von Eitzen señala, podemos considerar los vectores unitarios $u,v,w$, que están separados por $\frac{2\pi}{3}$

$\hspace{5cm}$

y observamos que $u+v+w=0$ para obtener que $w=-u-v$. Sea $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ un vector de coordenadas utilizando los vectores de la base $\{u,v\}$. Entonces, la rotación por $\frac{2\pi}{3}$ tiene la siguiente acción: $$ \begin{bmatrix}u&v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}v&w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u&v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\tag{4} $$ Por lo tanto, la matriz para rotar por $\frac{2\pi}{3}$ bajo la base $\{u,v\}$ es $$ \begin{bmatrix}0&-1\\1&-1\end{bmatrix}\tag{5} $$ que, como señala Gerry Myerson aquí, es la matriz compañera de $x^2+x+1$. Una matriz compañera es aniquilada por su polinomio, por lo que $(5)$ es aniquilada por $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$.

El cuadrado de $(5)$ también satisface las condiciones especificadas: $$ \begin{bmatrix}-1&1\\-1&0\end{bmatrix}\tag{6} $$ La respuesta dada por Marc van Leeuwen usa $(6)$.

Answer 2

Aquí tienes un $3\times3$: $$\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0\cr}$$ Deberías poder obtener un $4\times4$ a partir de esto.

Answer 3

$$\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$

Answer 4

Dado que las potencias de las matrices diagonales simplemente elevan los elementos a esas potencias de forma individual, podemos simplemente escoger una matriz diagonal tal que todos los elementos diagonales sean raíces cúbicas de $1$. Si se permiten matrices complejas, la solución es fácil.

Answer 5

Sean $b_1, b_2, b_3, b_4$ una base. Defina $A$ de tal manera que $$Ab_1=b_2, Ab_2=b_3, Ab_3=b_1$$ y $Ab_4=b_4$ y extienda $A$ linealmente. Entonces para escalares $\alpha_k$, $k=1,2,3,4$ $$A(\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3+\alpha_4b_4)=\alpha_1b_2+\alpha_2b_3+\alpha_3b_1+\alpha_4b_4 \ne\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3+\alpha_4b_4$$ y $$A^2(\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3+\alpha_4b_4)=\alpha_1b_3+\alpha_2b_1+\alpha_3b_2+\alpha_4b_4 \ne\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3+\alpha_4b_4$$ mientras que $$A^3(\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3+\alpha_4b_4)=\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3+\alpha_4b_4.$$