Propiedad universal del mapa de Abel

Question

En el libro Geometría algebraica I editada por Safarevich En la página 158 se da la siguiente propiedad universal de la variedad jacobiana de una curva algebraica (sin más detalles):

La cartografía de Abel $a: C\to J(C)$ es universal: para cualquier mapa regular $f: C\to A$ en una variedad abeliana $A$ existe un único homomorfismo regular $F: J(C)\to A$ tal que $F\circ a=f$ .

Supongamos que $C$ es una superficie de Riemann compacta. Entonces $J(C)$ es isomorfo como grupo a $\text{Pic}^0(C)$ . Elige un punto base $P_0\in C$ . La cartografía de Abel es $$P\to [P-P_0].$$ Podemos ver lo que $F$ debería ser:

• Asumiendo la existencia de $F$ Tendríamos $$F([E-dP_0])=\sum n_if(P_i)$$ si $E=\sum n_iP_i$ es un divisor efectivo de grado $d$ .
• Elige un número entero $r\ge g$ . Por Riemann-Roch, cualquier clase de divisor $[D]$ de grado cero contiene un divisor efectivo $E$ de grado $g$ : $[D]=[E-rP_0]$ . Así tendríamos finalmente $$F([D])=F([E-rP_0])$$ que define $F$ en todas partes.

Sin embargo, no puedo ver cómo esto podría ser bien definido .

En el segundo paso, nos gustaría poder elegir $r$ para que $\dim L(D+rP_0)=1$ Pero, ¿es esto posible?

Answer 1

Esta es una pregunta divertida. Para demostrar que la cosa está bien definida considera el morfismo $$ C^n = C \times \ldots \times C \longrightarrow A,\quad (p_1, \ldots, p_n) \longmapsto \sum f(p_i) $$ Esto es claramente un factor a través de la potencia simétrica $S^n(C) = C^n/S_n$ dando un morfismo $f^n : S^n(C) \to A$ . Como C es una curva suave, esta potencia simétrica es también una variedad proyectiva suave. De hecho $S^n(C)$ es el espacio de moduli de los divisores efectivos de grado $n$ en $C$ . Si $n > 2g + 99$ , entonces a través de cada punto $D$ de $S^n(C)$ existe un espacio proyectivo de paso, a saber, el sistema lineal $|D|$ . Para ver que su mapa está bien definido tenemos que demostrar que $f^n$ mapea cada uno de estos $|D|$ hasta cierto punto.

Para ello basta con demostrar que cualquier morfismo $f : \mathbf{P}^1 \to A$ es constante. Ahora tomando $C = \mathbf{P}^1$ en la discusión anterior, vemos que si $f$ no es constante, entonces obtenemos para cada $n$ un mapa no constante $\mathbf{P}^n = S^n(\mathbf{P}^1) \to A$ . Para terminar la prueba por contradicción basta con hacer lo siguiente

Ejercicio: Si $X$ es una variedad de dimensión $< n$ entonces todo morfismo $\mathbf{P}^n \to X$ es constante.