función en $L_2$ espacio que es $f=0$ casi en todas partes

Question

Tengo que probar esto

Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $\in L^2[0,1]$ y la integral de Lebesgue $\int_{[0, 1]}f(x)x^n=0$ para todos $n=0, 1, 2, ...$ Entonces $f=0$ casi en todas partes.

Creo que he aprendido que por el teorema de Stone-Weierstrass el polinomio es denso en $C[a,b]$ por lo que se pueden utilizar polinomios para aproximar la función en $L_p$ espacio. Pero no estoy seguro de que esto sea útil para este problema.

Answer 1

Esto es realmente útil. Los polinomios son densos en $L^2[0,1]$ .

Supongamos que $f_n \to f$ en $L^2$ donde $f_n$ es un polinomio.

Entonces $\int f f_n \mathrm dx = 0$ para todos $n$ por su suposición.

Por la continuidad del $L^2$ -producto escalar esto implica $\int |f|^2 \mathrm dx = 0$ , Así, $f=0$ casi en todas partes.