Complejo de torres: $i^{i^{i^{...}}}$

Question

Si $w = z^{z^{z^{...}}}$ converge, podemos determinar su valor mediante la resolución de $w = z^{w}$, lo que conduce a $w = -W(-\log z))/\log z$. Para ser específicos de aquí, vamos a usar $u^v = \exp(v \log u)$ complejas $u$$v$.

Dos preguntas:

• ¿Cómo podemos determinar analíticamente si la torre converge? (He visto el intervalo de convergencia real de las torres.)
• Tanto el logaritmo y Lambert W funciones son múltiples valores. ¿Cómo sabemos que la rama de usar?

En particular, $i^{i^{i^{...}}}$ numéricamente parece converger a un valor de $i2W(-i\pi/2)/\pi$. ¿Cómo podemos establecer esta convergencia analíticamente?

(Sí, he buscado en la red, incluyendo la tetration foro. No he sido capaz de encontrar la respuesta a esta facilidad.)

Answer 1

(Edición de la versión 2)

Si usted tiene una base $b$ tales que ver el$b^{b^{b^{...}}}$, a continuación, encontrar una solución para $t$ tal que $b = t^{1/t}$ Si usted tiene un $t$, luego mira a su logaritmo $u = \ln(t)$. Si $|u| \le 1$, a continuación, la torre infinita es convergente expresión. Tenga en cuenta que la función h(x), tal que $t = h(b) \to t^{1/t} = b $ es multivalor y toma el valor principal) me he hecho una imagen acerca de este "Concha Espina-región" en el tetration-foro (en la imagen se refleja sólo la parte superior halfplane, toda la imagen es simétrica alrededor del eje x).

La curva azul indica que el complejo de bases de $b$, en el límite entre la convergencia y la divergencia de la resp. infinito powertower. Fuera de esta curva el powertower diverge. A cada punto de esta curva hay otro punto de $t$ en el plano complejo asociado (que está en la curva magenta). He conectado un ejemplo de los puntos de $b=t^{1/t} $, con una línea gris. La curva amarilla indica los puntos de $u$, los registros de los puntos de $t$.

Dentro de (y en) el círculo amarillo (con un radio de 1 ) son todos los puntos $u$ cuyo exponenciales $t$ están dentro de (y en) la curva magenta y cuyos asociados bases de $b$ están dentro de (y en) la curva azul -y por lo tanto cuya infinita powertower con base b es convergente.
Para los valores de $b$ fuera de la curva azul, el correspondiente $t$ son de fuera de la magenta y el correspondiente $u$ son de fuera de la curva amarilla el infinito powertower diverge.
(Tenga en cuenta que, debido a la multivaluedness podemos tener valores de $u$ $t$ fuera de sus curvas que corresponden $b$ dentro de la curva azul, pero eso no importa para la cuestión ya que no debe, entonces, otro valor $u$ $t$ dentro de sus regiones curva)

Su ejemplo es $b=i$, y que el valor está dentro de la azul de la curva, por lo que el infinito powertower es convergente.

Answer 2

Usted podría tratar de usar uno de los siguientes expansiones:

${a_1}^{{a_2}^{{.^{.^{a_n}}}}} = {\large\rm T}_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k_j \ge 0 \atop 1 \le j \le n} \prod_{i=1}^{n}\frac{{(k_{i-1} \ln(a_i))}^{k_i}}{(k_i)!}$

que Barrow (enlace de arriba) da la variante de sin logaritmos, o

$a^{a^{a^{.^{.^{.}}}}} = \exp_a^{\infty}(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\ln(a)^{k}}{k!} (k+1)^{(k-1)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a - 1)^{k}}{k!} \sum_{j=0}^{k}\left[{k \atop j}\right] (j + 1)^{(j - 1)}$

que es sólo una sustitución de variables en la de Lambert-W de la serie, la segunda serie es sólo el Stirling transformación de la primera.