multiplicar ambos lados de una ecuación lineal

Question

Estoy leyendo el libro "Linear Algebra and Its Applications" de Gilbert Strang y me he encontrado con una ecuación en la página 176 que no consigo entender.

Se trata de matrices ortonormales $Q$ y la ecuación $Qx = b$

escribir b como una combinación $b = x_1q_1 + x_2q_2 + ... + x_nq_n$

Para calcular $x_1$ hay un buen truco Multiplica ambos lados de la ecuación por $q_1^T$ . En el lado izquierdo está $q_1^Tb$ . En el lado derecho desaparecen todos los términos (porque $q_1^Tq_j = 0$ excepto en el primer término. Nos quedamos con

$$ q_1^Tb = x_1q_1^Tq_1 $$

y como $q_1^Tq_1 = 1$

$$ x_1 = q_1^Tb $$

Mi pregunta es sobre el orden de los términos en el lado derecho de la ecuación. Dado que el orden importa, ¿no habría que escribir $q_1^Tx_1q_1$ ya que la multiplicación en el lado izquierdo fue insertada desde la izquierda?

Answer 1

$x_1$ es sólo un escalar, por lo que $q_1^Tx_1q_1=x_1q_1^Tq_1$ .

Answer 2

Asumiré que $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^t$ y que $q_j$ es el $j$ -en la columna de $Q$ . Así, en la ecuación $$Qx=x_1q_1+x_2q_2+\cdots+x_nq_n$$ tenemos una combinación lineal de los vectores $q_1,q_2,\dots,q_n$ con coeficientes $x_1,x_2,\dots,x_n$ . Por lo tanto, para todos los $j$ tenemos $$q_1^t (x_jq_j)=x_j(q_1^tq_j)$$ ( $x_j$ es sólo un escalar, más precisamente, el $j$ -a componente de $x$ )