Por lo que veo, la respuesta es complicada, así que daré algo más que una pista pero dejaré algo de trabajo para que lo hagas tú.
Si $f$ fueran diferenciables (todas las derivadas de Dini iguales) entonces esto se deduce fácilmente del teorema del valor medio (MVT) ya que existiría $c \in (x , x+h)$ tal que
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(c)$$
y $u \leqslant f'(c) \leqslant v$ para todos $c \in (a,b)$ .
Trabajar sólo con $D^+f$ utilizamos una generalización de la MVT tomando para $x \leqslant y \leqslant x+h$ ,
$$\phi(y) = f(y) - f(x) - \frac{f(x+h) - f(x)}{h}(y-x)$$
La continuidad de $f$ implica la continuidad de $\phi$ y, además, tenemos $\phi(x) = \phi(x+h)=0$ . Ignorando el caso trivial en el que $\phi$ es idénticamente igual a $0$ debe haber un punto $c \in (x,x+h)$ donde $\phi$ tiene un máximo o un mínimo. Si es un máximo o un mínimo, entonces podemos utilizar un resultado bien conocido que $D^+\phi(c) \leqslant 0$ o $D^+\phi(c) \geqslant 0$ respectivamente. Esto se demuestra en la solución del ejercicio 21.6 en Una introducción a las funciones reales por Boas.
También necesitamos el hecho de que
$$D^+\phi(y) = D^+f(y) - \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
En general, no es cierto que $D^+(f +g) = D^+f + D^+g$ pero es cierto si $g'$ existe, que es el caso que nos ocupa.
Así, si $\phi$ tiene un máximo en $c$ tenemos
$$D^+\phi(c) = D^+f(c) - \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \leqslant 0,$$
lo que implica que
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geqslant D^+f(c) \geqslant u,$$
dándonos un lado de la desigualdad deseada. Si también hay un punto $c' \in(x,x+h)$ donde $\phi$ tiene un mínimo entonces tendríamos el segundo lado también,
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \leqslant D^+f(c') \leqslant v$$
Como no podemos estar seguros de que haya tanto máximos como mínimos en el intervalo abierto, se necesita otro argumento para obtener simultáneamente ambos lados de la cadena de desigualdades. Por ejemplo, si sólo hay un punto máximo, tenemos $\phi(y) > 0$ para $x < y < x+h$ y se deduce que
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} < \frac{f(y) - f(x)}{y-x} $$
Dejaré el resto de la argumentación para usted.
