Pregunta sobre la demostración de un teorema sobre raíces de polinomios en extensiones de campo

Question

Hay un teorema en mi libro que dice lo siguiente:

Dejemos que $K$ sea un campo y que $f(X) \in K[X]$ sea irreducible sobre $K$ . Entonces existe una extensión de campo $L/K$ , de tal manera que $\exists u \in L$ : $f(u) = 0$ .

Prueba: Obsérvese que $K\subseteq K[X]/(f(x))$ . Claramente, $K[X]/(f(x))$ es un campo ya que $(f(x))$ es el máximo ideal. Si tomamos $u = \overline{X}$ entonces $f(u) = f(\overline{X})= \overline{f(X)} = 0$ .

Pregunta: Realmente no entiendo si $u = ...$ en la prueba, ya que no sé qué $\overline{X}$ significa en este contexto, ¿alguien lo sabe?

Gracias de antemano.

Lamentablemente no puedo proporcionar un enlace al libro ya que es mi programa de estudios holandés (no pdf) para mi curso de álgebra.

EDITAR: Parece que ahora lo entiendo: $f(\overline{X}) = \overline{f(X)} = f(x)+ (f(x)) = (f(x))$ que es $0$ para $K\subseteq K[X]/(f(x))$ .

Answer 1

$\overline{X}$ significa la clase de $X$ mod $f(X)$ en el anillo de cociente $K[X]/(f(x))$ .

Ahora, teniendo en cuenta $g\in K[X]$ , considere la función polinómica asociada en $K[X]/(f(x))$ . Entonces, por la definición de las operaciones de anillo en $K[X]/(f(x))$ tenemos $g(u) = g(\overline{X}) = \overline{g(X)}$ . Cuando $g=f$ obtenemos $g(u)=\overline{0}$ .