Demostrar la desigualdad por inducción $\forall n \in \mathbb{N}, n\ge 2 \ \ : \ \ (1+\frac1n)^n<\sum\limits_{k=0}^n \frac1{k!}<3$

Question

Tengo que demostrar la siguiente afirmación: $$\forall n \in \mathbb{N}, n\ge 2 \ \ : \ \ (1+\frac1n)^n<\sum_{k=0}^n \frac1{k!}<3$$

Lo que ya he demostrado es que $$(1+\frac1n)^n< (1+\frac1{n+1})^{n+1}$$

He comenzado, como es habitual por la inducción con $n = 2$ . Luego, continué diciendo $$(1+\frac1{n+1})* (1+\frac1{n+1})^{n}< \sum_{k=0}^n \frac1{k!} + \frac1{(n+1)!} < 3$$

Pero aquí es donde parece que me atasco. No puedo utilizar la hipótesis de inducción, ya que el denominador del lado izquierdo es ahora $n+1$ en lugar de $n$ . Supongo que tengo que utilizar la otra desigualdad, que ya he comprobado que es cierta, pero no sé cómo. ¿Alguna pista?

Answer 1

Por Binom Newton $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=2+\frac{1-\frac{1}{n}}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+...+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)...\left(1-\frac{n-1}{n}\right)}{n!}<$$ $$<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}...+\frac{1}{n!}<2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...=3$$