¿Es correcta la Wikipedia?

Question

Teorema de Cantelli

La Wikipedia dice:

$$P[X-\mu \geq a] \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$ para $a > 0$

y

$$P[X-\mu\geq a] \geq 1- \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$ para $a <0$ .

¿Es la segunda desigualdad (para $a<0$ ) ¿correcto?

Si es así, ¿conoces una prueba? O conoces un artículo en el que esté referenciado, ya que no me fío de este sitio de la Wikipedia (es sólo un tocho).

No estoy seguro de si es lo mismo o si hay una contradicción, pero aquí es otro documento en el que se enumeran estas desigualdades.

Este documento dice que para $a>0$ :

$$P[X \geq \mu + a] \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$

$$P[X \leq \mu - a] \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$

Cuando tomo la segunda fórmula del papel y trato de transformarla en la ecuación de Wikipedia, obtengo un Problema para funciones discretas, como:

$$Pr[X-\mu \geq a]=Pr[X \geq \mu + a]=1-Pr[X \leq \mu + a -1] =1-Pr[X \leq \mu -(-a + 1)] \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\sigma^2+(-a+1)^2}$$

¿Está mal mi derivación o una de estas ecuaciones?

Gracias por ayudarme.

Answer 1

La segunda desigualdad puede deducirse de la primera sustituyendo $X$ con $-X$ .

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Tenga en cuenta que

$$P[X-\mu\geq a] \geq 1- \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$

para $a <0$ implica que

$$P[X\geq \mu + a] \geq 1- \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$

implica que (dado que la distribución es continua, sin parte discreta)

$$P[X\leq \mu + a] \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$$

implica que para $b = - a$ (y por eso ahora $ b > 0 $ ),

$$P[X\leq \mu - b] \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+b^2}$$