Localmente cerca de la curva original, la reflexión de Schwarz es la única función antiholomórfica que fija la curva. Cuando la miras globalmente, estás viendo su continuación analítica (¿o debería decir antianalítica?).
Si $\gamma$ es un mapa analítico que toma un pequeño segmento de $\Bbb R$ a un pequeño arco de la curva, entonces después de la conjugación con $\gamma$ una función antiholomorfa que fija la curva se convierte en una función antiholomorfa que fija un pequeño segmento real. Después de componer con la conjugación compleja, se obtiene una función holomorfa que fija ese segmento, y por el teorema de la identidad, tiene que ser la identidad en todas partes y por lo tanto sólo hay una función de este tipo.
Por otro lado, la existencia sale gratis si se tiene una parametrización analítica del arco.
Como he dicho antes, como obtienes esta función por continuación analítica, globalmente no tienes ninguna garantía de que sea una función. De hecho si tu curva no es una recta o una circunferencia, entonces obtendrás algo multivalente, con puntos de ramificación.
Cuando su curva es una variedad algebraica real (definida con una ecuación polinómica $P(x,y)=0$ ), hay algunas cosas geométricas interesantes que podemos decir sobre esta función antiholomorfa
Si $P$ tiene un grado total $n$ entonces la función es como máximo $n$ -valorado.
Su gráfico (en $\Bbb R^2 \times \Bbb R^2$ ), es (después de un $\Bbb R$ -cambio lineal de variables) la subvariedad $V \subset \Bbb C^2$ descrito por la misma ecuación $P(z_1,z_2) = 0$ (es decir, es la complejización de la curva)
Un punto de bifurcación ocurre en $(x,y)$ si y sólo si la línea compleja en $\Bbb C^2$ pasando por $(x,y)$ y la pendiente $i$ es tangente a $V$ .
Cuando su curva no está dada por un polinomio sino con una ecuación holomórfica (como $y = \exp x$ ) entonces es $\infty$ -y los otros dos puntos siguen siendo ciertos.
Y por supuesto, todo esto es geométrico, es decir, no depende de dónde y cómo pongas tu marco ortonormal.
Para mostrar todo esto, haré uso de un práctico modelo de plano afín complejo que naturalmente "extiende" el plano afín real estándar.
Si $P$ es un plano afín real con un espacio vectorial subyacente $V$ y un "rotar por $+\pi/2$ Operación " $I : V \to V$ damos $P_\Bbb C = P^2$ la estructura de un plano afín complejo con :
el espacio vectorial complejo subyacente es $V_\Bbb C = V^2$ ,
la sustracción se realiza por componentes: $\overrightarrow{(A,B)(C,D)} = (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})$
la adición de vectores y el escalado por un número real se realizan por componentes: $(\vec u,\vec v) + (\vec r, \vec s) = (\vec u+\vec r, \vec v + \vec s)$ y $k(\vec u,\vec v) = (k\vec u,k \vec v)$
escalado por $i$ es especial : $i(\vec u,\vec v) = (I(\vec u), -I(\vec v))$
La conjugación de un punto se realiza intercambiando sus dos componentes : $\sigma(A,B) = (B,A)$ .
Puedes comprobar que cumple todos los requisitos para ser un plano afín complejo. Un punto complejo es ahora un par ordenado de puntos.
Ahora lo importante es que un punto complejo $(A,B)$ es real si y sólo si es igual a su conjugado, que es $(B,A)$ por lo que este es el caso cuando $A=B$ por lo que se consigue que el antiguo plano real esté naturalmente incrustado en él a través de $A \mapsto (A,A)$ que escribiré $\textbf A$ a partir de ahora.
También, un par de puntos complejos conjugados es el par $\{(A,B),(B,A)\}$ y esto equivale a conocer el par desordenado $\{A,B\}$ , por lo que se puede pensar en un par conjugado de puntos complejos como un par de puntos.
Si tienes dos puntos, puedes tomar su punto medio para obtener un tercer punto, y mirando las definiciones, esto se puede hacer tomando el punto medio en forma de componente. En particular, si se toma el punto medio de $(A,B)$ con su conjugado $(B,A)$ se obtiene $\textbf C$ donde $C$ es el punto medio de $A$ y $B$ .
$C$ puede llamarse naturalmente la parte real de $(A,B)$ .
Por último, la parte imaginaria de $(A,B)$ es el vector de $\textbf C$ a $(A,B)$ escalado por $-i$ que es un vector real (a diferencia de un punto real).
Ahora toma dos puntos antiguos $A,B$ y considerar la línea real $(AB)$ . En nuestro antiguo plano afín real, esta línea era $\{A + k\overrightarrow{AB} ; k \in \Bbb R\}$ . Ahora podemos ver la complejización de la línea (real) $\{\textbf A + k \overrightarrow {\textbf {AB}}) ; k \in \Bbb C\}$
Si ampliamos las definiciones y hacemos un poco de cálculo, encontramos que los puntos complejos de esta recta real son el par de puntos que son la reflexión de cada uno a través de la recta.
Entonces, si se tiene un marco ortonormal real $(O,\vec i, \vec j)$ se puede encontrar que cualquier punto complejo $(A,B)$ puede escribirse de forma única como $\textbf O + x \vec {\textbf i} + y \vec {\textbf j}$ para algunos $x,y \in \Bbb C$ .
De hecho, al ampliar las definiciones se obtiene $\textbf O + (x_r + ix_i)\vec {\textbf i} + (y_r + iy_i)\vec {\textbf j} = (O+(x_r-y_i) \vec i +(x_i+y_r) \vec j, O+(x_r+y_i) \vec i + (-x_i+y_r) \vec j)$ .
Pasar de las componentes reales de las coordenadas al par de puntos y viceversa es el cambio real de variable que mencionaba arriba.
Una última cosa importante es observar los vectores de pendiente $i$ .
(Se podría pensar que tener pendiente $i$ no es algo geométrico, ya que debería cambiar cuando se le hace una rotación real. Pero de hecho resulta que las rotaciones reales hacen girar las líneas de pendiente $i$ en líneas de pendiente $i$ . Por ejemplo, girando una línea de pendiente $t$ por $\pi/2$ le da una línea de pendiente $-1/t$ y puede comprobar que $-1/i = i$ ).
En nuestro marco ortonormal, un vector de pendiente $i$ es una escala compleja de $\vec {u_i} = (1.\vec {\textbf i} + i.\vec {\textbf j}) = (\vec i, \vec i) + (-\vec i,+\vec i) = 2(\vec 0, \vec i)$ .
Entonces, para $k = x+iy \in \Bbb C$ , $z.\vec {u_i} = 2z.(\vec 0, \vec i) = 2(\vec 0, x.\vec i - y.\vec j)$ (este podría llamarse $(\vec 0, 2\bar k. \vec i)$ con un ligero abuso de la notación)
De todos modos, como la primera componente es el vector nulo, la línea de pendiente $i$ pasando por $(A,B)$ es $\{(A,C) ; C \in P\}$ Esto es lo que se obtiene cuando se fija el primer componente y se mueve el segundo arbitrariamente. A la inversa, la línea de pendiente $-i$ pasando por $(A,B)$ se obtiene fijando $B$ y el movimiento $A$ .
Ahora tienes todas las piezas necesarias para conseguir los puntos que he mencionado anteriormente. Supongamos que tienes tu viejo plano con un marco ortonormal y mira la parábola $y=x^2$ .
Si se tiene en cuenta la variedad $\{(x,y) \in \Bbb C^2 \mid y = x^2\}$ y tratar de trazar sus puntos complejos, se obtiene un conjunto de pares $(A,B)$ donde $B$ es antiholomorfo en $x$ (o $y$ porque $x \mapsto y$ es holomorfo) y $A$ es holomorfo en $x$ . Lo que significa que a nivel local, $B$ varía antiholomórficamente en $A$ .
Esto significa que, a nivel local, la asignación $A \mapsto B$ es una función antiholomorfa que fija los puntos reales de la parábola, por lo que debe ser la reflexión de schwarz alrededor de ella.
Dado un punto $A$ la cuestión de encontrar los puntos $B$ tal que $(A,B)$ es un punto complejo de la parábola es lo mismo que preguntar cuáles son los puntos de intersección de la recta que pasa por $\textbf A$ y la pendiente $i$ y en el caso de una cónica, suelen ser dos.
Los puntos de bifurcación se producen cuando se obtiene un punto doble, es decir, cuando la variedad es tangente a esa línea de pendiente $i$ . Normalmente, si tienes una cónica no degenerada encontrarás dos puntos de ramificación (que resultan ser los dos focos de la cónica, porque ¿qué otra cosa podrían ser, realmente?), pero en el caso de la parábola uno de ellos está "en el infinito" : si tienes $A$ siguen un gran círculo, entonces el correspondiente $B$ también seguirá una forma de círculo grande en la otra orientación, pero no volverá a su punto de partida, tendrás que hacer dos bucles para ello.
Este modelo de plano afín complejo es una forma natural (pero también algo extraña) de ver las curvas reales complejizadas junto con su componente real distinguida. Puedes hacer algunas cosas divertidas como encontrar los puntos de intersección de dos círculos que no se cruzan en puntos reales, o de un círculo y una línea (por cierto, los puntos complejos de un círculo real son los pares $(A,B)$ donde $B$ es la imagen de $A$ por la inversión a través del círculo).
En cuanto a su ejemplo concreto, para encontrar $(y,z)$ tal que el punto $((x,0),(y,z))$ está en la parábola, se puede resolver para $t$ tal que $(x+t,it)$ satisface $Y=X^2$ y traducir $(x,0)$ por $2(\Re t, -\Im t)$ (o $2\bar t$ con un ligero abuso de la notación),
o puede encontrar las coordenadas complejas de $((x,0),(y,z))$ y escribir $Y=X^2$ . Esto te da dos ecuaciones, usa una para eliminar $x$ y obtendrá un título $4$ ecuación en $y$ y $z$ que, si no me equivoco, es
$y^2(1+z)^2+2y^2(1-z^2)+(y^2-z^2)(1-z)^2 = 2z(1-z)^2$
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El nodo corresponde a los dos puntos complejos $((\pm \sqrt 3,0),(0,1))$ por lo que son las imágenes de $(\pm \sqrt 3,0)$ por el reflejo.
