Encontrar el volumen de $(x-4)^2+y^2 \leqslant 4$

Question

Calcula el volumen del cuerpo formado por el anillo que obtienes cuando el área formada por el círculo $$(x-4)^2+y^2 \leqslant 4$$ gira en torno al eje Y.

La respuesta debería ser: $32\pi^2$

Mi enfoque fue:

$$ \pi \int_2^6 \left(\sqrt{(x-4)^2-4}\right)^2 dx $$

pero sospecho que me he equivocado de enfoque. En parte porque no consigo un cuadrado $\pi$ en la respuesta

Answer 1

Un enfoque más fácil es ver que el cuerpo generado es un toro y su volumen viene dado por

$$V = 2\pi^2Rr^2$$

donde $R=4$ es la distancia del centro del anillo al centro del toroide, y $r=\sqrt{4}=2$ es el radio del anillo. Por lo tanto:

$$V = 2\pi^2\cdot4\cdot2^2 = 32\pi^2$$

Answer 2

Por desgracia, su enfoque es erróneo.

Este es un enfoque normal : Tenemos que separar el círculo en dos curvas como $$x=4\pm\sqrt{4-y^2}=x_{\pm}.$$ Además, al girar alrededor de $y$ -significa que necesitamos tener una integral sobre $y$ . Así que, $$\begin{align}V&=\int_{-2}^{2}\pi (x_+)^2dy-\int_{-2}^{2}\pi (x_-)^2dy\\&=\pi\int_{-2}^{2}(x_++x_-)(x_+-x_-)dy\\&=\pi\int_{-2}^{2}8\times 2\sqrt{4-y^2}dy\\&=16\pi\times \color{red}{\int_{-2}^{2}\sqrt{4-y^2}dy}\\&=16\pi\times \color{red}{\frac{2^2\pi}{2}}\\&=32{\pi}^2.\end{align}$$

Aquí, $\color{red}{2^2\pi/2}$ representa la mitad del área rodeada por $x^2+y^2=4$ .

Answer 3

También puede utilizar Volúmenes de la revolución y luego obtener la siguiente integral:

$$2\times\int_2^62\pi x\sqrt{4-(x-4)^2}dx=32\pi^2$$