Cómo evaluar $ \int \frac{\sin^2x\cdot\cos^2x}{(\sin^3x + \cos^3x)^2}\ dx $ ?

Question

$$ \int \frac{\sin^2x\cdot\cos^2x}{(\sin^3x + \cos^3x)^2}\ dx $$

Lo que intenté fue

• Para convertir $N^r$ en $sin2x$
• Utilizar la identidad $(a+b)^3 = (a^3 + b^3)(a^2 + b^2 - ab) $

Pero ninguno de ellos resultó útil

¿Cómo evalúo esta integral?

Answer 1

Sugerencia

Empieza con: $\sin x=\frac{\tan x}{\sec x}$ y $\sec^2 x =\tan^2 x +1$ . Entonces,

$$\int \frac{\sin^2x\cdot\cos^2x}{(\sin^3x + \cos^3x)^2}\ dx = \int \sec^2x\,\frac{\tan^2x}{\left(\tan x+1\right)^2\left(\tan^2x-\tan x +1\right)^2}\,\mathrm{d}x.$$

Ahora usa $u=\tan x$ . A continuación, utilice $t=\left(u+1\right)\left(u^2-u+1\right)$ , de tal manera que

$$\int \frac{\sin^2x\cdot\cos^2x}{(\sin^3x + \cos^3x)^2}\ dx =\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2}.$$