Tasa de crecimiento de una serie modificada

Question

Dejemos que $\{a_k\}_{k\leq 1}$ sea una secuencia de números reales tal que $$\sum_{k=1}^{\lfloor X \rfloor} a_k = O(X^a),$$ para algunos $a>0$ y los valores reales $X>0$ . Ahora dejemos que $\{b_k\}_{k\geq 1}$ sea una secuencia de números positivos (los modificadores) tal que $b_k = f(k)>0$ donde $f(X)=O(X^{-b})$ para algunos $b>0$ y, si es necesario, podemos suponer que $f$ disminuye a medida que $X$ aumenta.

Mi pregunta es qué se puede decir sobre el crecimiento de $$\sum_{k=1}^{\lfloor X \rfloor} a_k b_k.$$ En particular, ¿es posible demostrar que $\sum_{k=1}^{\lfloor X \rfloor} a_k b_k = O(X^{a-b})$ ?

Answer 1

Si no asume $f$ para ir disminuyendo, no tiene remedio. Da secuencias como $1,-1,1/2^a,-1/2^a,1/3^a,-1/3^a...$ , $1,0,1/2^b,0,1/3^b,0...$ , resp, entonces se ve que la suma es igual en escala con $\sum_{k=1}^{X} k^{a-b}$ entonces todo lo que podemos decir es $O(X^{a-b+1})$ si $a\neq b$ y $O(X\log X)$ si $a=b$ .

Puede mostrarlo fácilmente utilizando $a_n=O(n^a)$ .

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Supongamos que $f$ está disminuyendo.

Podemos reescribir la suma como $\sum_{k=1}^n A_k(b_k-b_{k+1})+A_nb_{n+1}$ , donde $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$ .

Entonces, como $b_k-b_{k+1}>0$ basta con considerar sólo cuando $\forall k,A_k=k^a$ .

Ahora, la suma está acotada por encima de $\sum k^{a-b-1}$ y que es $O(X^{a-b})$ si $a\neq b$ y $O(X^{a-b}\log X)$ si $a=b$ .

Se puede comprobar que estos límites son óptimos poniendo $\forall k,a_k=k^a-(k-1)^a,b_k=k^{-b}$ .