Teoría del valor extremo - Constantes de normalización para la distribución del valor extremo generalizado

Question

Estoy trabajando en la Teoría de los Valores Extremos, y encontré la siguiente condición suficiente para encontrar el dominio de atracción de una distribución y las correspondientes constantes normalizadoras:

Para una distribución suficientemente suave $F$ con densidad $f$ , defina $\displaystyle h(x) = \frac{1-F(x)}{f(x)}$ ; dejar que $\displaystyle b_n = F^{-1} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$ , $a_n = h(b_n)$ y $\displaystyle \xi = \lim_{x \rightarrow +\infty}{h'(x)}$ . Entonces la distribución de los máximos $F^n(a_nx+b_n)$ converge a una distribución GEV con parámetro de forma $\xi$ .

Mis preguntas:

1. ¿Cuáles son las condiciones exactas para este resultado? Supongo que "suficientemente suave" significa que debe existir una densidad; también hay un problema de definición para $h(x)$ si $f(x)=0$ ¿cuáles son exactamente los supuestos aquí?

2. Tengo un libro teórico sobre Valores Extremos (Resnick 87) pero no he encontrado este resultado; entonces, ¿cómo lo demuestran?

Gracias

Answer 1

El resultado que has indicado se conoce también como la condición de von Mises en la teoría del valor extremo. Puede encontrar la demostración, así como las condiciones técnicas exactas, en el teorema 1.1.8. del libro "Extreme value theory: An introduction" de Laurens de Haan y Ana Ferreira.

Esta es la declaración exacta:

Obsérvese que el extremo derecho $x^*$ de una función de distribución $F$ se define como $x^*=\sup\{x: F(x)<1\}$ .