Si $A$ genera la topología $\mathcal{T}$ y el $\sigma$ -campo $\mathcal{F}$ entonces $\mathrm{Borel} (\mathcal{T}) =\mathcal{F}$ ?

Question

Dejemos que $\mathcal{A}$ una colección de subconjuntos de $\mathbb{X}$ . Sea $ \mathcal{T}$ la topología generada por la colección $\mathcal{A}$ y $\mathcal{F}$ el $\sigma$ -campo generado por $ \mathcal{A}$ .

Denotemos por , $\mathrm{Borel}(\mathcal{T})$ el $\sigma$ -campo de conjuntos de Borel de $\mathbb{X}$ con respeto a la topología $\mathcal{T}$ .

Pregunta1: ¿Es cierto que $\mathrm{Borel} (\mathcal{T}) =\mathcal{F}$ ?

Gracias.

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Editar:

Pregunta 2: Supongamos ahora que $\mathbb{X}$ es contable y discreto con respecto a alguna métrica $d$ que genera la topología $\mathcal{T}$ . Es cierto que $\mathrm{Borel} (\mathcal{T}) =\mathcal{F}$ ?

Si la respuesta es no, tengo una pregunta más.

Pregunta 3 Si la respuesta a la pregunta 2 sigue siendo alguna condición (topológica, métrica o de mensurabilidad) sobre $\mathbb{X}$ o $\mathcal{A}$ ¿es suficiente que la respuesta sea afirmativa?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea incontable y $\mathcal{A}$ sea el conjunto de todos los monotonos. La topología generada contiene todos los subconjuntos de $X$ pero el $\sigma$ -El álgebra generada contiene sólo aquellos subconjuntos que son contables o tienen un complemento contable. Así que la respuesta es no.

Editar: A la segunda y tercera pregunta: Es suficiente que $\mathcal{A}$ es contable para los dos $\sigma$ -para que coincidan las álgebras. Dado que $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{T}$ siempre hemos $\sigma(\mathcal{A})\subseteq\sigma(\mathcal{T})=\mathrm{Borel} (\mathcal{T})$ . Ahora bien, si $\mathcal{A}$ es contable, entonces el conjunto de intersecciones finitas de elementos de $\mathcal{A}$ es también contable y forma una base para el espacio topológico $\mathcal{T}$ . Así que todo conjunto abierto es una unión contable de estas intersecciones finitas y por tanto en $\sigma(\mathcal{A})$ .