Recientemente he empezado a preguntarme si es posible construir dos cevianas en un triángulo de manera que al menos tres de las cuatro partes en que las cevianas dividen el triángulo sean equivalentes. Creo que la respuesta es sí, pero no sé cómo construirlas.
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dan_fulea
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En el caso de un triángulo isósceles las cosas están claras, es posible de una u otra manera. Consideremos el caso general restante.
Dejemos que $\Delta ABC$ sea un triángulo con lados de diferentes longitudes.
Dejemos que $BE$ y $CD$ sean las dos cevianas, y que $X$ sea su intersección.
(1) Consideramos primero el caso en que dos de las tres "piezas equivalentes" son los dos triángulos $\Delta XBD$ y $\Delta XCE$ .
Existe la misma medida de ángulo en $X$ , ángulos opuestos, por lo que los productos $XB\cdot XD$ y $XC\cdot XD$ son iguales, entonces estamos formando proporciones equivalentes en su lugar, y obtenemos la similitud $\Delta XBC\sim\Delta XED$ Así que $DE$ es paralelo a $BC$ ¡!
Así que dejemos $DE$ sea un paralelo "móvil" a $BC$ . Sea $x$ sea la proporción $x=AD:AB=AE:AC$ , $x\in[0,1]$ . Sea $S$ sea la superficie (es decir, el área) de $\Delta ABC$ . Entonces $$ \begin{aligned} \operatorname{Area}(ABC) &= S\ ,\\[2mm] \operatorname{Area}(ABE) &= xS\ ,\\ \operatorname{Area}(BEC) &= (1-x)S\ ,\\[2mm] \operatorname{Area}(ACD) &= xS\ ,\\ \operatorname{Area}(BDC) &= (1-x)S\ ,\\[2mm] x&= \frac{DE}{BC} = \frac{XD}{XC} = \frac{XE}{XB} \\ \frac x{1+x} &= \frac{XD}{CD} = \frac{XE}{BE} \\[2mm] \operatorname{Area}(XBD) &= \frac{XD}{CD}\cdot\operatorname{Area}(BCD) = \frac x{1+x}\cdot (1-x)S\ ,\\ \operatorname{Area}(XCE) &= \frac{XE}{BE}\cdot\operatorname{Area}(BCE) = \frac x{1+x}\cdot (1-x)S=\operatorname{Area}(XBD)\ , \\[2mm] \operatorname{Area}(XBC) &= \frac{XC}{CD}\cdot\operatorname{Area}(BCD) = \frac 1{1+x}\cdot (1-x)S\ , \\ \operatorname{Area}(ADXE) &=\left( 1 - 2\cdot\frac{x(1-x)}{1+x}-\frac{1-x}{1+x} \right)S =\frac{2x^2}{1+x}S\ . \end{aligned} $$ Así que hay que elegir $x$ para que $$ 2x^2 = x(1-x)\qquad\text{ or }\qquad 1-x =x(1-x)\ . $$ El primer caso conduce a la solución $x=1/3$ después de simplificar con $x$ . (Evitamos los casos degenerados). Así que la configuración ganadora es 
(Nota: La imagen de arriba podría haber sido la respuesta, pero no me gustan esas soluciones en forma de haiku, ni siquiera en estilo de novela. Me gusta mucho la historia completa. Pero bueno, para el estilo novela hubiera bastado con mencionar que la mediana en la imagen separa el triángulo en dos que tienen la misma área, y que las proporciones de los lados $1:2$ reflejan la proporción de los triángulos con un vértice en $X$ y los lados opuestos los correspondientes $1:2$ partes...)
(2) El caso restante es cuando los dos triángulos diferentes de $\Delta XBC$ no están ambos en la lista de las tres piezas equivalentes. Eliminemos la pieza $\Delta XCE$ . Entonces $X$ es el punto medio de $CD$ para hacer los triángulos $\Delta XBC$ y $\Delta XBD$ tienen la misma superficie. Denotamos por $x$ la proporción $$ x=\frac{AD}{AB}\ .$$ Entonces, a partir del teorema de Menelaos, en el triángulo $\Delta ADC$ con respecto a la línea $EXB$ , $$ \frac{EA}{EC}\cdot \frac{XC}{XD}\cdot \frac{BE}{BA} =1 \ , $$ obtenemos corregido, gracias @greenturtle3141 , $EA:EC=1:(1-x)$ . A partir de aquí, denotando de nuevo por $S$ la superficie total: $$ \begin{aligned} \operatorname{Area}(ABC) &= S\ ,\\[2mm] \operatorname{Area}(DBC) &= (1-x)S\ ,\\[2mm] \operatorname{Area}(XBD) &= \frac 12(1-x)S\ ,\\ \operatorname{Area}(XBC) &= \frac 12(1-x)S\ ,\\[2mm] \operatorname{Area}(ABE) &= \frac {1}{1+(1-x)}S\ , \end{aligned} $$ por lo que escribimos la ecuación $$ \frac {1}{2-x}S=2\cdot\frac 12(1-x)S\ , $$ y la solución en $(0,1)$ de la ecuación $(2-x)(1-x)=1$ es decir $x^2-3x+1=0$ es $$ \frac 12(3-\sqrt5)\approx 0.381966011250105\dots\ . $$ La mejor manera de verlo es tomar la conocida $1-x$ , $$ 1-x=\frac 12(\sqrt 5-1)\approx 0.61803398874989\dots\ , $$ (Intenté encontrar una buena razón geométrica por la cual esto es una solución... todavía busco la imagen de la iluminación, pero tengo que enviar la corrección del error ahora...)
greenturtle3141
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¡Sí que puedes! En el triángulo de arriba, nuestros cevianos son $BE$ y $CF$ . Las tres áreas que son iguales son $[BFX]$ , $[AFXE]$ y $[CEX]$ .
El punto $X$ se define con coordenadas baricéntricas $(1/2, 1/4, 1/4)$ . En otras palabras, tenemos los ratios:
$$\frac{DX}{DA} = \frac12$$ $$\frac{EX}{EB} = \frac14$$ $$\frac{FX}{FC} = \frac14$$
En realidad, hay otras dos soluciones, que implican a otras regiones. Si buscas un solo ejemplo, éste es el adecuado.
En primer lugar, mostraré que el triángulo de arriba satisface su condición, siendo tres de estas áreas iguales. Como $\frac{EX}{EB} = \frac{FX}{FC}$ vemos que $\triangle XEF \sim \triangle XBC$ Así que $EF || BC$ . Esto implica que las alturas de $\triangle FBC$ y $\triangle EBC$ son iguales, por lo que sus áreas son iguales. Esto implica que $[FBX] = [ECX]$ .
Ahora, dejemos que estas dos áreas sean $A$ . Vemos que $[BCX] = 3A$ por las relaciones de base, y por lo tanto, $[BDX] = [CDX] = 1.5A$ . Desde $[BXD] = [BXA]$ Debemos tener $[AFX] = .5A$ y de manera similar, $[AEX] = .5A$ Así que $[AFXE] = A$ como se desee. Este resultado puede derivarse utilizando métodos más sencillos, como las coordenadas baricéntricas y los puntos de masa.
Ahora derivaré las otras dos posibilidades. Primero, demuestro que el cuadrilátero $AFXE$ debe ser una de las tres regiones de igual área. Supongamos que no lo es. Entonces $[BFX] = [BXC] = [CEX]$ y por lo tanto, $FX = XC$ y $EX = XB$ . Pero los triángulos $BFX$ y $CEX$ son directamente congruentes y $BF||CE$ Lo cual es absurdo.
Ahora, dejemos que $X$ tienen coordenadas baricéntricas homogeneizadas $(x, y, z)$ por lo que tenemos $x+y+z=1$ . Entonces tenemos $F(x:y:0) = (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{x+y}, 0)$ y de forma trivial, $A(1,0,0)$ . Si suponemos sin pérdida de generalidad que $[ABC]=1$ entonces el área de $\triangle AFX$ se puede evaluar con el siguiente determinante:
$$[AFX] = \begin{vmatrix} 1&0&0\\ \frac{x}{x+y}&\frac{y}{x+y}&0\\ x&y&z\\ \end{vmatrix}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x+y}\cdot\begin{vmatrix} x&0&0\\ x&y&0\\ x&y&z\\ \end{vmatrix}=\frac{xyz}{x(x+y)} = \frac{yz}{x+y}$$
Hemos hecho girar el determinante mediante la factorización de los factores comunes en las filas, y luego utilizando la reducción de filas para hacer el cálculo trivial.
Utilizamos el mismo método para derivar las siguientes áreas:
$$[AFXE] =\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}$$ $$[BFX] =\frac{xz}{x+y}$$ $$[CEX] =\frac{xy}{x+z}$$
$$[BXC] = x$$
La última área puede derivarse de la interpretación de las coordenadas baricéntricas como coordenadas areales.
Con esta nueva base algebraica, ahora eliminaremos completamente $[BXC]$ como una de las posibles áreas. Sabemos que $[AFXE]$ es una de las áreas. En primer lugar, sin pérdida de generalidad, dejemos $[BFX]$ ser otra de las áreas posibles. Entonces:
$$\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z} = \frac{xz}{x+y}$$
Esto se amplía y simplifica a:
\begin{equation} (*)\ \ \ y^2 + 2xy + yz = x^2 + xz \end{equation}
Supongamos ahora que $[BXC]$ es una de las áreas. Entonces:
$$[BFX] = [BXC] \implies \frac{xz}{x+y} = x \implies x+y=z$$
Desde $x+y+z=1$ Derivamos que $x+y=z=\frac12$ . Por lo tanto, $y = \frac12-x$ , por lo que podemos eliminar $y$ y $z$ en $(*)$ :
$$(\frac12-x)^2 + 2x(\frac12-x) + (\frac12-x)(\frac12) = x^2+\frac12x$$
Esto tiene la única raíz positiva $x = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ . Por lo tanto, tenemos la solución:
$$x = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$$ $$y = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$$ $$z = \frac12$$
Del mismo modo, si elegimos $[CEX]$ en lugar de ser nuestra segunda área, tendríamos la solución:
$$x = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$$ $$y = \frac12$$ $$z = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$$
Esto concluye el caso de $[CEX]$ siendo un área posible. Nuestro último caso a considerar $[AFXE] = [BFX] = [CEX]$ que dará lugar a la solución que presenté en primer lugar.
$(*)$ sigue siendo cierto, y ahora tenemos:
$$\frac{xz}{x+y} = \frac{xy}{x+z}$$
Esto se amplía a:
$$xy+y^2 = xz + z^2$$
Ahora bien, si replanteamos $(*)$ para la comodidad del lector:
$$y^2 + 2xy + yz = x^2 + xz$$
Vemos que las ecuaciones se pueden restar para obtener:
$$xy + yz = x^2 - z^2$$
Factorización:
$$y(x+z) = (x+z)(x-z) \implies x = y+z$$
Una vez más, desde $x+y+z=1$ Esto implica $y+z=x=\frac12$ . Sustituir $z = \frac12 - y$ en $(*)$ para resolver $y$ por lo que derivamos la siguiente solución:
$$x = \frac12$$ $$y = \frac14$$ $$z = \frac14$$
Que es precisamente la solución original.
Vale, esto podría haber sido un poco exagerado.
