Se trata de una cuestión de definición, tal y como se indica aquí . Una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ es lineal si la función $x(t)$ y sus n-1 derivadas aparecen en la ecuación específicamente a la potencia 1:
$a(t)x(t)+b(t)x'(t)+...+z(t)x^{(n)}(t)=F(t)$
donde los coeficientes $a(t), b(t), ..., z(t)$ y la "fuerza motriz" $F(t)$ pueden ser funciones no lineales en la variable independiente $t$ pero el lado izquierdo global de la EDO es una combinación lineal de la función $x$ y sus derivados.
Esta definición de linealidad se aplica tanto a los modelos de osciladores armónicos no amortiguados como a los amortiguados (y a sus variedades homogéneas y conducidas), que pueden expresarse como:
$kx(t)+mx''(t)=0$ (sin amortiguar y sin accionar)
$kx(t)+mx''(t)=F(t)$ (sin amortiguación y accionado)
$kx(t)+dx'(t)+mx''(t)=0$ (amortiguado y no accionado)
$kx(t)+dx'(t)+mx''(t)=F(t)$ (amortiguado y conducido)
Por lo tanto, un oscilador lineal requiere
- La ley de Hooke (o alguna otra expresión en la que la fuerza restauradora sea lineal en $x$ o sus derivados),
- Una fuerza de amortiguación que es lineal en $x$ o sus derivados (más comúnmente $x'$ o simplemente se descuida) y
- La segunda ley del movimiento de Newton, que garantiza que la fuerza neta también es lineal en $x$ o sus derivados (concretamente $x''$ ).
Esto significa que si se utiliza una versión no lineal de la Ley de Hooke, el sistema resultante (la EDO) sería no lineal porque habría un término no lineal en $x$ . Sin embargo, el uso de la expresión lineal de la Ley de Hooke sólo garantiza la linealidad del sistema si no hay amortiguación o si ésta también es lineal. Si el sistema es un oscilador armónico "simple" ese será el caso (y tampoco habrá fuerza motriz).
Tenga en cuenta que un oscilador lineal no tiene por qué ser simple, puede estar amortiguado y/o accionado.
