El espacio de Banach $C[0,1]$ no es reflexivo.

Question

Equipar el espacio $C([0,1])$ con la norma suprema habitual. Demostrar que este espacio no es reflexivo.

Ya he visto muchas soluciones a este tipo de preguntas, pero no sé cómo empezar esto.

Muchas personas parten del hecho de que "si $E$ es un espacio de Banach reflexivo, entonces cada función continua lineal alcanza su norma". ¿Qué significa esto? ¿O por qué es cierto?

Sólo sé que $X$ es reflexivo si $J(X) = X''$ y $J$ se define como $J\colon X \to X''$ por $J(x)=F_x$ y $F_x$ es el funcional de $X \to F$ .

Answer 1

Si te gusta el tiro de cañón ten en cuenta que $C[0,1]$ es separable por el teorema de (Stone-)Weierstaß. Por otro lado, $C[0,1]^*$ no es reflexivo ya que la variación total de $\delta_x-\delta_y$ (que es la norma en $C[0,1]^*$ ), $\|\delta_x - \delta_y\|=2$ para los distintos $x,y\in [0,1]$ . Esto significa que $C[0,1]^*$ no es separable como $\{\delta_x\colon x\in [0,1]\}$ es un subconjunto discreto e incontable de $C[0,1]^*$ .

Por el teorema de Hahn-Banach, el dual de un espacio no separable es no separable, por lo que $C[0,1]^{**}$ no puede ser isomorfo a $C[0,1]$ (nótese que esto es más fuerte que la no-reflexividad).

Moraleja: un espacio separable con un dual no separable no puede ser reflexivo.

Answer 2

Si $C([0,1])$ era reflexivo entonces $B := \overline{B(0,1)}$ es débilmente compacto, por lo que para cada $\varphi\in C([0,1])'$ tenemos $f\in B$ con $\varphi(f) = \|\varphi\|$ . Ahora mira $\displaystyle\varphi(f) := \int_0^{\frac 12} f(x)dx-\int_{\frac 12}^1f(x)dx$ .

Answer 3

Añado otra prueba. Supongamos que $C[0,1]$ es reflexivo. $C[0,1]$ es separable y por tanto por reflexividad $C[0,1]*$ es separable. Así, por el teorema de selección de Helley, toda secuencia acotada de funcionales lineales continuas $\varphi_n : C[0,1]^* \rightarrow R$ tiene una subsecuencia *débilmente convergente, es decir $\varphi_{n_k}(\lambda) \rightarrow \varphi(\lambda)$ por cada $\lambda \in C[0,1]*$ Consideremos los funcionales $\lambda_{x}(f) = f(x)$ con $x\in [0,1]$ Y la secuencia de funciones $f_n(x) = x^n$ Usted consigue que $J(f_n)$ es una secuencia de funcionales en $C[0,1]**$ y por lo tanto debe tener, para un subseque, $\lambda_{x}(f_n) = f_n(x) \rightarrow f(x)$ por reflexividad, por lo que existe una subsecuencia de $f_n$ que converge puntualmente a una función continua. Contradicción

Answer 4

Aquí hay otra prueba más elemental.

Considere la secuencia de funciones $f_n=(x\mapsto x^n)\in C[0,1]$ . Como está acotado, por Banach-Alaoglu, tiene un punto límite $f^{**}\in(C[0,1])^{**}$ (con respecto a la topología débil).

Definir $f_m^*\in (C[0,1])^*$ mediante la fórmula $f_m^*(f)=f(1-1/m)$ , mientras que $f^*_{\infty}(f)=f(1)$ . Ahora, fíjate que tenemos, para todos $m$ que $f^{**}(f_m^*)=0$ , mientras que $f^{**}(f_\infty^*)=1$ (porque $f_m^*(f_n)\to 0$ como $n\to \infty$ y $f_\infty^*(f_n)$ es idéntico $1$ ). Evidentemente, esto es imposible para cualquier $f^{**}\in C[0,1]$ , por lo que debemos tener $f^{**}\in (C[0,1])^{**}\setminus C[0,1]$ .

Esta prueba es un poco deshonesta: para entender la idea que hay detrás, se necesita una herramienta más avanzada, concretamente el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani. Dice que (en particular) el dual de $C[0,1]$ consiste exactamente en medidas de Borel con signo en $[0,1]$ de variación limitada. Se deduce inmediatamente que cualquier función acotada de Borel sobre $[0,1]$ representa un elemento único del doble dual. Los dos párrafos anteriores sólo dan un ejemplo concreto.