Utiliza la inducción para demostrar que la suma de la primera $2n$ términos de la serie $1^2-3^2+5^2-7^2+…$ es $-8n^2$ .

Question

Utiliza la inducción para demostrar que la suma de la primera $2n$ términos de la serie $1^2-3^2+5^2-7^2+…$ es $-8n^2$ .

Se me ocurrió la fórmula $\displaystyle\sum_{r=1}^{2n} (-1)^{r+1}(2r-1)^2=-8n^2$ pero me quedé atascado probándolo por inducción. ¿Debo utilizar otra fórmula o es correcta y debo seguir intentando demostrarla por inducción?

Answer 1

Primero, demuestre que esto es cierto para $n=1$ :

$\sum\limits_{r=1}^{2}(-1)^{r+1}\cdot(2r-1)^2=-8$

En segundo lugar, supongamos que esto es cierto para $n$ :

$\sum\limits_{r=1}^{2n}(-1)^{r+1}\cdot(2r-1)^2=-8n^2$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$ :

$\sum\limits_{r=1}^{2(n+1)}(-1)^{r+1}\cdot(2r-1)^2=$

$\color{red}{\sum\limits_{r=1}^{2n}(-1)^{r+1}\cdot(2r-1)^2}+\color{green}{(-1)^{(2n+1)+1}\cdot(2(2n+1)-1)^2}+\color{blue}{(-1)^{(2n+2)+1}\cdot(2(2n+2)-1)^2}=$

$\color{red}{-8n^2}+\color{green}{(-1)^{(2n+1)+1}\cdot(2(2n+1)-1)^2}+\color{blue}{(-1)^{(2n+2)+1}\cdot(2(2n+2)-1)^2}=$

$-8n^2-8(2n+1)=$

$-8(n^2+2n+1)=$

$-8(n+1)^2$

---

Tenga en cuenta que el supuesto sólo se utiliza en la parte marcada en rojo.

Answer 2

Sólo tiene que utilizar la inducción y llegar a $$(4n+1)^2-(4n+3)^2-8n^2=-8(n+1)^2.$$ Es decir $$(4n+1)^2-(4n+3)^2=-8(n+1)^2+8n^2=-8(2n+1).$$ Lo cual es fácil de comprobar.

Answer 3

Para $n=1$ que tenemos:

$$1^2 - 3^2 = -8 = -8\cdot1^2$$

Ahora supongamos que la afirmación es válida para algún n. Entonces tenemos una suma:

$$1^2-3^2+...+ (4n-3)^2 - (4n - 1)^2= -8n^2$$

Sumando los dos siguientes términos a ambos lados obtenemos:

\begin{align} &1^2-3^2+...+ (4n-3)^2 - (4n - 1)^2 + (4n + 1)^2 - (4n + 3)^2 \\ &= -8n^2 + (4n + 1)^2 - (4n + 3)^2\\ &=-8n^2+16n^2+8n+1-16n^2-24n-9 \\ &=-8n^2-16n-8 \\ &=-8(n+1)^2 \end{align}