¿Existe una prueba sucinta para el hecho de que el rango de una matriz asimétrica no nula ( $A = -A^T$ ) es de al menos 2? Se me ocurre una prueba por contradicción: Supongamos que el rango es 1. Entonces se expresan todas las demás filas como múltiplos de la primera fila. Usando la propiedad de simetría sesgada, esta matriz tiene que ser una matriz cero.
¿Por qué dicha matriz tiene al menos 2 valores propios distintos de cero?
Para una matriz simétrica sesgada (real), los valores propios son todos puramente imaginarios. Esto se debe a que si $Av = \lambda v$ entonces tenemos $\lambda \langle v,v\rangle = \langle \lambda v, v\rangle = \langle Av,v\rangle = \langle v, -Av \rangle = \langle v, -\lambda v\rangle = -\overline{\lambda} \langle v,v\rangle$ por lo que concluimos que $\lambda = -\overline{\lambda}$ es decir, que $\lambda$ es puramente imaginario. Aquí, estamos usando un producto interno Hermitiano.
Para una matriz real, los valores propios complejos vienen en pares conjugados, por lo que el rango debe ser par.
Si no se asume que la matriz es real, sino sólo que el campo base tiene característica $\neq 2$ El resultado sigue siendo cierto, véase mi respuesta.
@Naga creo que esta prueba tiene un problema.porque $\lambda$ es una matriz diagonal n x n por lo que el rango es igual a n
Editar: Lo siguiente responde a la primera parte de la pregunta del OP, sin utilizar el concepto de valores propios. Funciona en todos los campos (incluyendo $\mathbb{R}$ ) con la característica $\ne2$ .
Cada rango $1$ se puede escribir como $A=uv^\top$ para algunos vectores no nulos $u$ y $v$ (para que cada fila de $A$ es un múltiplo escalar de $v^\top$ ). Si $A$ es simétrica, tenemos $A=-A^\top=-vu^\top$ . Por lo tanto, cada fila de $A$ también es un múltiplo escalar de $u^\top$ . De ello se desprende que $v=ku$ para algún escalar no nulo $k$ . Pero entonces $vu^\top=-uv^\top$ implica que $kuu^\top=-kuu^\top$ o $2kuu^\top=0$ lo cual es imposible porque ambos $k$ y $u$ son distintos de cero y la característica del campo no es $2$ . Por lo tanto, las matrices simétricas a la inclinación no pueden ser matrices de rango 1, y viceversa.
Cuando el campo subyacente tiene la característica 2, las nociones de matrices simétricas y matrices sesgadas-simétricas coinciden. Por tanto, toda matriz no nula de la forma $uu^\top$ con un vector no nulo $u$ es una matriz simétrica de rango 1.
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¿Y esta matriz? $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ¿Esta matriz no tiene rango 1?
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@Pratik: No, esa matriz tiene rango $2$ .
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@Pratik: No, tiene rango 2. Esa matriz envía la base $$e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$ to the vectors $$v_1=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ que abarcan el subespacio $$\{(a,0,b)\in\mathbb{R}^3\mid a,b\in\mathbb{R}\}$$ que es de dimensión 2. Por lo tanto, el rango de la matriz es 2.