Tengo un ejercicio que dice:
Dejemos que $BC(\Bbb R )$ el conjunto de funciones acotadas y continuas de $\Bbb R $ a $\mathbb{F}$ , donde $\mathbb{F}$ es $\Bbb R $ o $\Bbb C $ , refrendado con el siguiente producto interno $$ \langle f,g \rangle:=\sum_{m\geqslant 1}\frac{f(q_m)\overline{g(q_m)}}{2^m}\tag1 $$ donde $(q_m)$ es una enumeración de $\Bbb Q $ . Demostrar o refutar que $BC(\Bbb R )$ es un espacio de Hilbert con este producto interno.
Quiero comprobar si mi contraejemplo de abajo es correcto y tal vez si hay un contraejemplo más simple o sencillo.
He utilizado el siguiente teorema para construir mi contraejemplo:
Teorema: dejar $(x_k)$ alguna secuencia en un espacio vectorial normado $V$ . Entonces $V$ es un espacio de Banach si y sólo si $\sum_{k\geqslant 0}\|x_k\|<\infty\Rightarrow \sum_{k\geqslant 0}x_k$ existe en $V$ .
Entonces, suponiendo que $$ \sum_{k\geqslant 1}\|g_k\|=\sum_{k\geqslant 0}\sqrt{\sum_{m\geqslant 1}\frac{|g_k(q_m)|^2}{2^m}}<\infty\tag2 $$ queremos demostrar que $\sum_{k\geqslant 1}g_k$ no pertenece a $BC(\Bbb R)$ .
Sea una secuencia $(g_k)$ en $BC(\Bbb R )$ definido por $g_k(x)=0$ si $x\notin [k,k+1)$ y $\|g_k\|_\infty =g_k(k+1/2)=k$ y que $(p_k)$ la secuencia creciente de primos (es decir, $p_0=2,\, p_1=3,\,p_2=5$ etc.) y definir $N_k:=\{p_k^n: n\in \Bbb N_{>0}\}$ . Entonces $(N_k)$ es una secuencia disjunta de subconjuntos infinitos de $\Bbb N $ y porque $p_k> k$ para todos $k\in \Bbb N_{\geqslant 0} $ entonces encontramos que $\sum_{x\in N_k}2^{-x}< 2^{-k}$ .
Luego hay una inyección $b:\Bbb Q \to \Bbb N$ tal que la imagen de $b$ restringido al conjunto $[k,k+1)\cap \Bbb Q $ es $N_k$ . Entonces, por construcción, encontramos que $$ \sum_{q\in \Bbb Q }\frac{|g_k(q)|^2}{2^{b(q)}}\leqslant\frac{k^2}{2^k}\implies \sum_{k\geqslant 1}\|g_k\|\leqslant \sum_{k\geqslant 1}\frac{k}{2^{k/2}}< \infty\tag3 $$ Sin embargo, $g:=\sum_{k\geqslant 1}g_k$ no tiene límites porque $g(k+1/2)=k$ para todos $k\in \Bbb N $ entonces, por el teorema anterior $BC(\Bbb R )$ no puede ser un espacio de Banach, ni un espacio de Hilbert.
ACTUALIZACIÓN:
Como señala @Daniel mi contraejemplo no es correcto porque debe funcionar para cualquier enumeración de los racionales y no sólo para una enumeración elegida.
Entonces quiero demostrar que, para cualquier enumeración de $\Bbb Q $ podemos construir una secuencia $(f_k)$ con un comportamiento similar de la secuencia $(g_k)$ de arriba. Sea una enumeración $(q_n)_n$ de $\Bbb Q $ y establecer $Q_n:=\max\{q_1,\ldots ,q_n\}$ y definir recursivamente la secuencia de intervalos abiertos $$ I_1:=(q_1,q_1+1)\\ I_n:=(\max\{\sup I_{n-1},Q_n\},\max\{\sup I_{n-1},Q_n\}+1)\tag4 $$ Entonces, por construcción $(I_n)$ es una secuencia de intervalos disjuntos de longitud uno con la propiedad de que $\{q_1,\ldots ,q_n\}\cap I_n=\emptyset $ . Ahora establecemos una secuencia $(f_k)$ en $BC(\Bbb R )$ por $f_k(x)=0$ cuando $x\notin I_k$ y $\|f_k\|_\infty =k$ . Entonces, por construcción, cada función $f_k$ tienen un soporte disjunto y $$ \sum_{n\geqslant 1 }\frac{|f_k(q_n)|^2}{2^n}=\sum_{n\geqslant k+1}\frac{|f_k(q_n)|^2}{2^n}\leqslant \sum_{n\geqslant k+1}\frac{k^2}{2^n}=\frac{k^2}{2^k}\\ \therefore \quad \sum_{k\geqslant 1}\|f_k\|\leqslant \sum_{k\geqslant 1}\frac{k}{2^{k/2}}<\infty \tag5 $$ Sin embargo, por construcción tenemos que para cada $k\in \Bbb N $ hay algo de $x\in I_k$ tal que $f_k(x)=k$ Por lo tanto $\sum_{k\geqslant 1}f_k$ no tiene límites, y por el teorema anterior se demuestra que $BC(\Bbb R )$ no puede ser un espacio de Hilbert.
