la probabilidad condicional tiene una distribución binomial

Question

Dejemos que $X_1, X_2$ sean dos variables aleatorias independientes con $X_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,$ para $i=1,2$ , donde $\lambda>0$ . Sea $k,n \in \mathbb{N}$ y $0\leq k \leq n$ . Definir $f(k):=\mathbb{P}(X_1 = k | X_2 + X_1 = n)$ .

Quiero demostrarlo: $f$ es una distribución binomial.

Mis ideas: Tenemos $$\mathbb{P}(X_1 = k | X_2 + X_1 = n)=\mathbb{P}(X_1 = k | X_2 = n-k)$$

Utilizando que la independencia de las variables aleatorias, $$\mathbb{P}(X_1 = k | X_2 = n-k)=\mathbb{P}(X_2=n-k)=exp(- \lambda) \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}$$ , por lo que basta con encontrar $p \in \mathbb{R}$ y $n',k'\in \mathbb{N}:exp(- \lambda) \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{n'!}{k'! (n'-k')! p^{k'} (1-p)^{n'-k'}}$

En otras palabras, para encontrar una distribución binomial apropiada dada por $p \in \mathbb{R}$ y $n',k'\in \mathbb{N}$ .

Realmente no veo cómo manipular los términos para encontrar dicha distribución binomial. ¿Hay otro enfoque menos técnico?

Gracias por la ayuda.

Los mejores

bjn

Answer 1

Tal vez sea más fácil con $$\mathbb{P}(X_1 = k , X_1+X_2 = n)=\mathbb{P}(X_1 = k , X_2 = n-k) $$ $$ =\exp(- \lambda) \frac{\lambda^{k}}{k!}\exp(- \lambda) \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!} = \exp(−2\lambda)\frac{(2\lambda)^n}{n!} {n \choose k}\frac1{2^n}$$ utilizando que la independencia, por lo que $$\mathbb{P}(X_1+X_2 = n)=\sum_k \mathbb{P}(X_1 = k , X_1+X_2 = n)=\exp(−2\lambda)\frac{(2\lambda)^n}{n!} $$ y por lo tanto $$\mathbb{P}(X_1 = k \mid X_1+X_2 = n) = \frac{\mathbb{P}(X_1 = k , X_1+X_2 = n)}{\mathbb{P}(X_1+X_2 = n)} ={n \choose k}\frac1{2^n}$$ que es binomial, todo ello suponiendo $0 \le k \le n$ .