Modelo para la categoría (infinito,1) de funtores que preservan ciertos límites de homotopía

Question

Esta pregunta es una continuación de: Modelo para la categoría (infinito,1) de funtores preservadores de (homotopía) límites .

Pregunta de calentamiento: Dada una categoría modelo simplicial $M$ , qué categoría de modelo modela el $(\infty, 1)$ -de espacios en la $(\infty,1)$ -categoría asociada a $M$ ?

Soy escéptico de que las estructuras del modelo proyectivo/inyectivo en presheaves simpliciales en $M$ lograr este objetivo porque no parecen utilizar las equivalencias débiles de $M$ en absoluto. (Aunque ahora que lo pienso quizás los funtores enriquecidos con SSet "ven" las equivalencias débiles en $M$ .)

Usaré $N^{hc}(M^{cf})$ para denotar el nervio homotópico-coherente de la subcategoría simplicial abarcada por los objetos fibrantes-cofibrantes, es decir, la $(\infty,1)$ -categoría asociada a $M$ .

Pregunta: Dada una categoría modelo simplicial $M$ y una categoría de diagrama fija $D$ , qué categoría de modelo modela el $(\infty,1)$ -de funtores de $N^{hc}(M^{cf})$ a los Espacios que preservan los límites de homotopía indexados por $D$ ?

Esperaba que la respuesta fuera algo parecido a lo siguiente. Denotemos por Fun(M,SSet) la categoría modelo que responde a la pregunta de calentamiento, y por S la colección de transformaciones naturales {F(hlim X) ---> hlim FX } donde S abarca $F:M \to \textrm{Spaces}, X: D \to M$ . Entonces la categoría modelo de los funtores preservadores del límite de la homotopía en forma de D de $M$ a los Espacios es modelada por la localización (¿correcta?) de Bousfield de Fun(M,SSet) por S.

Si responden a la pregunta como yo esperaba, por favor, digan algo ligeramente conciliador sobre el hecho de que S parece demasiado grande.

Answer 1

El $(\infty,1)$ -de presheaves en cualquier pequeño $(\infty,1)$ -categoría $C$ se presenta por la estructura del modelo de presheaves simplicial en cualquier categoría simplicial que encarna $C$ . Así que si $M$ es pequeño, entonces las preseries simpliciales en la categoría simplicial $M^{cf}$ lo haría, o en la localización de la hamaca de $M$ o cualquier otra categoría simplicial débilmente equivalente.

Si $M$ no es pequeño, entonces puedes pasar a un universo superior en el que sí lo es. Dudo un poco de que haya una buena categoría de modelo que presente presheaves en un dominio grande que tome valores pequeños, aunque podría interesarte este documento .

Para la segunda pregunta, creo que quieres la localización de la izquierda de Bousfield, pero aparte de eso tu idea es correcta (una vez que trates los problemas de tamaño como arriba, para que $S$ es pequeño).

Answer 2

Debe comenzar con la estructura del modelo proyectivo en la categoría de pequeño funtores simpliciales de $M^{op}$ a los conjuntos simpliciales debido a Chorny y Dwyer http://arxiv.org/abs/math/0607117 . Esto modela el $\infty$ -categoría de pequeño de los funtores subyacentes $\infty$ -categoría de $M^{op}$ a los espacios. Desde $M$ suele ser grande, debe restringirse a funtores pequeños para obtener espacios de mapeo pequeños en el $\infty$ -categoría de presheaves en $M$ . Entonces debes continuar como en mi respuesta a Modelo para la categoría (infinito,1) de funtores preservadores de (homotopía) límites .