Transformar las velocidades de un marco a otro dentro de un cuerpo rígido

Question

No tengo formación en física, pero acabo de encontrarme con el siguiente problema. Tengo un cuerpo rígido con dos marcos de referencia adjuntos A y A'.

Lo sé:

• la rotación y la traslación entre A y A'
• las velocidades de traslación instantáneas V $_x$ , V $_y$ , V $_z$ a lo largo de los ejes de A
• las velocidades angulares instantáneas $\omega_x$ , $\omega_y$ , $\omega_z$ alrededor de los ejes de A

Partiendo de la base de que A y A' están unidos al mismo cuerpo rígido quiero calcular:

• las velocidades de traslación instantáneas V $_x$ ', V $_y$ ', V $_z$ ' a lo largo de los ejes de A'
• las velocidades angulares instantáneas $\omega_x$ ', $\omega_y$ ', $\omega_z$ ' alrededor de los ejes de A'

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El contexto es que tengo un robot y conozco sus velocidades instantáneas en el marco de referencia de su sensor, pero me gustaría conocer las velocidades instantáneas en algún otro punto del cuerpo rígidamente unido.

Answer 1

Creo que lo que se quiere conseguir se describe en la siguiente conferencia: Robótica, Geometría y Control - Movimiento y geometría de cuerpos rígidos por Ravi Banavar.

Conoce la matriz de transformación homogénea que transforma la coordenada de un punto en el marco A a la coordenada del mismo punto en el marco A' (utilizando la misma notación que en la clase):

$ \bar{q}_{A'} = \begin{pmatrix} q_{A'}\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_{A'A} & p_{A'A} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_{A} \\ 1 \end{pmatrix} = \bar{g}_{A'A} \bar{q}_{A} $

con $ R $ la matriz de rotación y $ p $ el vector de traslación.

Las velocidades traslacional y angular en el marco A' deben ser:

$ \begin{pmatrix} v_{A'} \\ \omega_{A'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_{A'A} & \hat{p}_{A'A}R_{A'A} \\ 0 & R_{A'A} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{A} \\ \omega_{A} \end{pmatrix} $

Con:

$ a = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix}^T $

y la matriz asimétrica: $ \hat{a} = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} $