¿Por qué los armónicos de una cuerda están controlados por el lugar donde la pulsamos?

Question

Acabo de leer esta respuesta de rob sobre la cuestión de por qué se producen los armónicos al pulsar la cuerda, en la respuesta tengo una duda sobre este punto:

Vale la pena señalar que tienes cierto control sobre los armónicos que excitas eligiendo dónde pulsas la cuerda.

Se trata de algo intuitivo, ya que de otro modo no puedo imaginar que la música se toque desde los instrumentos, pero no puedo precisar una razón exacta de por qué tenemos control sobre los armónicos excitados. De ahí que busque una respuesta que pueda dar una razón exacta de lo anterior.

Answer 1

La longitud de (media) onda de las oscilaciones excitadas en una cuerda es conmensurable con (es decir, una fracción de) la longitud de la cuerda, que para los armónicos principales es mucho mayor que la anchura del dedo. Por lo tanto, si la perturbación de la cuerda por el dedo se expande en series de Fourier en términos de los modos/armónicos disponibles, contendrá necesariamente muchos términos no nulos (la versión extrema de esta situación es ruido blanco Una perturbación en forma de función delta tiene la misma potencia espectral en todas las frecuencias, pero aquí tenemos armónicos cuantificados (discretos).

La potencia transferida a los diferentes armónicos depende de la amplitud de sus oscilaciones en el punto en el que se puntea la cuerda. Si punteamos la cuerda en el nodo del armónico, éste no se excita en absoluto (Obsérvese que el armónico principal siempre se excita, ya que sus nodos están en los extremos de la cuerda). En cambio, si punteamos el armónico cerca de su máximo, tendrá mucha energía.

Answer 2

Si se resuelve la ecuación de onda, se encontrará que la solución general puede escribirse como una superposición lineal de los modos normales o armónicos $\sin(k_n x)$ como:

$$y(x,t) = \sum_{n} c_n \sin(k_n x) \cos(\omega_n t),$$

Esta solución es para el caso en que la cuerda tiene un cierto desplazamiento inicial (es decir, se puntea) en $t=0$ y $k_n = n \pi/L$ .

Ahora, el $c_n$ son los "pesos" de los diferentes armónicos en la solución final. Sin embargo, como se puede ver, son independientes de $t$ y, por lo tanto, un conjunto diferente de $c_n$ s representaría un diferentes solución en la cadena. Entonces, ¿cómo encontraríamos normalmente las diferentes $c_n$ s? Bien, para ello utilizaríamos las condiciones iniciales ("Cómo se punteó la cuerda"), ya que si la cuerda se punteó con algún perfil $y_0(x)$ en $t=0$ entonces lo exigiríamos: $$y_0(x) = \sum_n c_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \quad \quad \implies \quad \quad c_n = \frac{1}{L}\int_0^L y_0(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L}\right) \text{d}x.$$

Así, en general, las diferentes formas de $y_0(x)$ dar diferentes $c_n$ s, lo que significa un conjunto diferente de armónicos excitados. Así que no es sólo donde la cuerda se punteaba que excitaba diferentes armónicos, pero también cómo fue arrancado (la "forma" del desplazamiento inicial).

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Si quieres una explicación sencilla e "intuitiva", imagina que puedes pulsar una cuerda de tal manera que creas un nodo en $x = L/2$ . (Esto puede hacerse fácilmente en la mayoría de las guitarras.) Como la solución final debe ser una combinación lineal de los armónicos, no puede contener ninguno que no tenga un nodo en $x=L/2$ ya que allí todos tendrían amplitudes no nulas. Como resultado, todos los armónicos con un número par de nodos se eliminan de la solución (es decir, $c_0 = c_2 = c_4 =\dots= 0.$ Un argumento similar puede hacerse para una cuerda pulsada en $x=L/3$ y así sucesivamente.