Problema tonto con la variación conjunta.

Question

Hace poco estuve revisando algunos viejos problemas matemáticos de concursos y me di cuenta de que aparentemente no entiendo la variación de las articulaciones tan bien como pensaba. A modo de ejemplo, si tenemos $4 apples = 3 oranges$ y $3 apples = 2 pears$ Podríamos decir que las manzanas y las naranjas tienen una relación directa y que las manzanas y las peras tienen una relación directa, así: $apples/oranges = 3/4$ y $apples/pears = 2/3$ .

Mi problema es que, también podríamos decir que las manzanas son conjuntamente proporcionales a las peras y a las naranjas, lo que daría como resultado: $4 apples = 6 oranges \times pears$ según la fórmula de variación conjunta. Mi pregunta es ¿cómo pasamos de dos ecuaciones de variación directa a 1 ecuación de variación conjunta?

Todo esto surgió cuando estaba trabajando en el siguiente problema:

Dado que x es directamente proporcional a y y a z y es inversamente proporcional a w y que x = 4 cuando (w,y,z) = (6,8,5), cuál es x cuando (w,y,z) = (4,10,9).

Sé cómo resolver este problema, cuando hacía este tipo de cosas, sólo me enseñaron a multiplicar cuando veía la inversa y a dividir para la variación directa, así que: $xw/yz=...$ y resolver. Estoy un poco confundido en cuanto a por qué esto funciona.

Answer 1

Decir que $x$ es directamente proporcional a $y$ y a $z$ e inversamente proporcional a $w$ es decir que hay una constante $k$ tal que $$x=k\frac{yz}{w}.$$ (Aquí hay una suposición implícita de que $y$ , $z$ y $w$ son factores independientes).

Dado que usted conoce el valor de $x$ cuando $(w,y,z)=(6,8,5)$ se puede calcular $k$ . Y ahora que sabes $k$ , puede encontrar $x$ cuando $(w,y,z)=(4,10,9)$ .

Podemos cortocircuitar este proceso, a costa de perder quizás el control sobre lo que está ocurriendo. Para cambiar $y$ de $8$ a $10$ multiplicamos por $\frac{10}{8}$ es decir, escalar por ese factor. Para cambiar $z$ de $5$ a $9$ multiplique por $\frac{9}{5}$ . Por último, para cambiar $w$ de $6$ a $4$ multiplicamos por $\frac{6}{4}$ (nótese el cambio de orden). Así que multiplicamos el valor original de $x$ por $\frac{10}{8}\cdot\frac{9}{5}\cdot\frac{6}{4}$ .

Más desagradable aún, que $(x_1,w_1,y_1,z_1)$ sean los primeros valores, y $(x_2,w_2,y_2,z_2)$ sean los segundos valores. Entonces $$x_1=k\frac{y_1z_1}{w_1}\qquad\text{and}\qquad x_2=k\frac{y_2z_2}{w_2}.$$ Divide. Nos ponemos después de un poco de álgebra $$\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2z_2w_1}{y_1z_1w_2}.$$ Para terminar, sustituye.