Álgebras de Lie nilpotentes y subálgebras de Lie bidimensionales

Question

Que sea $\mathcal{L}$ un álgebra de Lie de dimensión finita. Cómo puedo demostrar que si cada $2-$ subálgebra de Lie dimensional de $\mathcal{L}$ es abeliano, entonces $\mathcal{L}$ es nilpotente?

Answer 1

Dejemos que $x\in L$ y considerar el operador adjunto $ad(x)$ para $x\in L$ . Sus vectores propios $y\neq 0$ vienen dadas por $[x,y]=\lambda y$ . Supongamos que $\lambda\neq 0$ . Entonces $\langle x,y\rangle $ es un $2$ -subálgebra no abeliana, una contradicción con la suposición. Por lo tanto, $\lambda=0$ y todos los operadores adjuntos sólo tienen $\lambda=0$ como valor propio. Por lo tanto, todos son nilpotentes. Por el teorema de Engel, $L$ es nilpotente.