distribución asintótica de dos secuencias de probabilidad similar

Question

Supongamos que $X_{n}$ sea una secuencia tal que $$ \sqrt{n}(X_{n} - X_{0})\stackrel{d}{\to} Z $$ A continuación, dejemos que $Y_{n}$ sea una secuencia de v.r. definida en el mismo espacio de probabilidad, tal que $Y_{n} = X_{n} + o_{p}(1)$ .

¿Es cierto lo siguiente? $$ \sqrt{n}(Y_{n} - X_{0})\stackrel{d}{\to} Z $$

Answer 1

No. Toma $H_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces ciertamente $H_n = o_p(1)$ . Sin embargo, al tomar $Y_n = X_n + H_n$ . Tenemos que $\sqrt{n}(Y_n-X_0) = \sqrt{n}(X_n - X_0) + 1$ que converge en su distribución a $Z + 1$ .