Número de dígitos de $1$ a $n$

Question

Dejemos que $n$ sea un número natural $k$ dígitos. Demuestre que la cantidad $Q$ de dígitos necesarios para escribir los números naturales de $1$ a $n$ es:

$Q = k(n+1) - \underbrace{111\ldots11}_{k\textrm{ digits}}$

Answer 1

HINT $\ $ Al cortar el dígito de la unidad, se obtiene un mapa de 10 a 1 de k+1 dígitos sobre los naturales de k dígitos. Por lo tanto, como hay 9 naturales con 1 dígito, hay 90 con 2 dígitos, y 900 con 3 dígitos, etc.

Answer 2

Como esta pregunta tiene ya 14 horas, voy a dar una respuesta.

Primero suma el número total de dígitos de todos los números naturales $ \le k-1.$ Llama a esta suma $S.$

Hay $9 \times 10^{i-1}$ números naturales de longitud $i,$ por lo que el número total de dígitos de los números naturales de longitud $i$ es $9i \times 10^{i-1}.$ Por lo tanto,

$$ S=9(1+2.10 + 3.10^2 + \cdots + (k-1)10^{k-2}) = (k-1)10^{k-1} - \frac{10^{k-1}-1}{9}.$$

Ahora el primer número natural con $k$ dígitos es $10^{k-1}$ y así hay $n- 10^{k-1}+1$ números naturales de $10^{k-1}$ a $n$ incluso. Cada uno de estos números tiene $k$ dígitos y, por tanto, el número de dígitos necesarios para escribir los números naturales de $1$ a $n$ es

$$ k( n- 10^{k-1}+1) + S = k( n- 10^{k-1}+1) + (k-1)10^{k-1} - \frac{10^{k-1}-1}{9}$$

$$ = k(n+1) - \frac{10^k-1}{9}.$$

Answer 3

Empieza con los números de un dígito. ¿Cuántos dígitos se necesitan para ellos? ¿Incluyen el cero? ¿Cuántos dígitos para ir del 10 al 99? Y así sucesivamente...