¿Cuál es el valor de $\int_0^\pi \frac{\sin[(n + \frac{1}{2})t]}{\sin(t)}dt$ , donde $n$ ¿es un número natural?

Question

¿Cuál es el valor de $\int_0^\pi \frac{\sin[(n + \frac{1}{2})t]}{\sin(t)}dt$ , donde $n$ ¿es un número natural?

Answer 1

Obsérvese que, el integrando tiene un polo de orden uno en $t=\pi$ como la serie de Laurent muestra que

$$-\sin \left( ( n+{1}/{2} ) \pi \right)\left( t- \pi \right)^{-1}-c_1 + c_2 \left( t-\pi \right) +O ( ( t-\pi ) ^{2} ).$$