Probabilidades condicionales con datos dados

Question

El otro día publiqué esta pregunta, pero creo que la borraron.

En cualquier caso, tampoco fui muy específico con mi anotación y me disculpo por ello. Aquí está la pregunta de nuevo.

Dados los sucesos A, B y C, donde B y C son sucesos independientes...(Obsérvese que A ocurre porque B o C ocurren...es decir, A es una escasez de energía y B es una tormenta eléctrica y C es un huracán)

Expresa las siguientes cantidades en términos de

$P(C), P(B), P(A|CB), P(A|CB^c), P(A|C^cB), P(A|C^cB^c)$

(1) $P(B|AC)$

(2) $P(B|A)$

Mi intento:

(1) $P(B|AC) = \frac{P(BAC)}{P(AC)}$

donde $P(BAC) = P(B)P(A|B)P(C|BA)$

y $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

$P(BA) = P(B|A)P(A)$

$P(C|BA) = \frac{P(V|AC)P(C|A)}{P(B|A)}$

No estaba seguro de qué hacer después de esto...

(2) $P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}$

No sé cómo cambiar P(BA) en la información que tenemos.

Muchas gracias por cualquier ayuda. Y si alguien tiene pequeños trucos o mnemotecnias para recordar cómo se relacionan las diferentes probabilidades condicionales con otras probabilidades condicionales, ¡¡sería realmente impresionante!

Gracias de nuevo por cualquier ayuda.

Answer 1

$(1)$ \begin{eqnarray*} P(B \mid AC) &=& \dfrac{P(ABC)}{P(AC)}. \\ && \\ P(ABC) &=& P(A \mid BC)\,P(B\mid C)\,P(C) \qquad\text{(by chain rule)} \\ &=& P(A \mid BC)\,P(B)\,P(C) \qquad\text{(by independence)}. \\ && \\ P(AC) &=& P(A\mid C)\,P(C) \\ &=& P(C)\left[P(A\mid CB)P(B\mid C) + P(A\mid CB^c)(1 - P(B\mid C))\right] \\ &&\qquad\qquad\text{(by law of total probability)} \\ &=& P(C)\left[P(A\mid CB)P(B) + P(A\mid CB^c)(1 - P(B))\right] \\ &&\qquad\qquad\text{(by independence)}. \\ && \\ \therefore P(B \mid AC) &=& \dfrac{P(A \mid BC)\,P(B)}{P(A\mid CB)P(B) + P(A\mid CB^c)(1 - P(B))}. \end{eqnarray*}

$(2)$ \begin{eqnarray*} P(B\vert A) &=& \dfrac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} \qquad\text{(by Bayes Thm).} \\ && \\ P(A\vert B) &=& P(A\mid CB)\,P(C\mid B) + P(A\mid C^cB)\,(1 - P(C\mid B)) \qquad\text{(law of total prob.)}\\ &=& P(A\mid CB)\,P(C) + P(A\mid C^cB)\,(1 - P(C)) \qquad\text{(by independence)}. \\ && \\ P(A) &=& P(A\mid CB)\,P(CB) + P(A\mid C^cB)\,P(C^cB) \\ &&\qquad + P(A\mid CB^c)\,P(CB^c) + P(A\mid C^cB^c)\,P(C^cB^c) \\ && \\ &=& P(A\vert CB)\,P(C)P(B) + P(A\mid C^cB)\,(1-P(C))P(B) \\ && \qquad + P(A\mid CB^c)\,P(C)(1-P(B)) + P(A\mid C^cB^c)\,(1-P(C))(1-P(B)). \\ && \\ \therefore P(B\vert A) &=& \frac{\left[ P(A\mid CB)P(C) + P(A\mid C^cB)(1 - P(C))\right]P(B)}{\mathrm{P(A\vert CB)P(C)P(B) + P(A\vert C^cB)(1-P(C))P(B) + P(A\vert CB^c)P(C)(1-P(B)) + P(A\vert C^cB^c)(1-P(C))(1-P(B))}} \end{eqnarray*}