¿Dos definiciones de convergencia?

Question

Recuerdo que alguna vez he visto estas dos definiciones de convergencia en alguna parte:

1. Una secuencia $S_n$ converge a $s$ si $\forall m\in\mathbb{N}, \exists N$ tal que $\forall n>N,|S_n-s|<\frac{1}{m}$
2. Una secuencia $S_n$ converge a $s$ si $\forall r\in\mathbb{R}>0, \exists N$ tal que $\forall n>N,|S_n-s|<r$ .

Mi pregunta es si en los reales esas dos definiciones son equivalentes o no. Supongo que lo son, pero no estoy seguro de la prueba. Saludos.

Answer 1

2) a 1) está claro. Supongamos ahora que 1) se cumple, para cada $r>0$ encontramos un gran $m\in{\bf{N}}$ tal que $1/m<r$ y por 1), tenemos algo como $|S_{n}-s|<1/m<r$ Así que $|S_{n}-s|<r$ se establece entonces.

Answer 2

Demostremos que

i) $\forall m\in\mathbb{N^*}, \exists N \in \mathbb{N^*},\forall n>N,|S_n-s|<\frac{1}{m}$

y

ii) $\forall r >0, \exists N \in \mathbb{N^*}, \forall n>N,|S_n-s|<r$

son equivalentes.

No hay problema en demostrar que ii) implica i).

Supongamos ahora i). Sea $r>0$ . Existe un $m \in \mathbb{N^*}$ tal que $\frac{1}{m} < r$ . También existe $N$ tal que $\forall n>N,|S_n-s|<\frac{1}{m}$ .

Por lo tanto, $\forall n>N,|S_n-s|< r$ .

Por lo tanto i).

Answer 3

Sí, son equivalentes, básicamente porque $\frac{1}{n}\to 0$ . Para una justificación rigurosa de esto, véase la propiedad arquimédica de los reales.