Descripción semiclásica de la reflexión de las ondas EM en superficies metálicas

Question

Imagina una onda EM que incide sobre un metal. Las fórmulas de Fresnel nos dicen que ninguna onda puede propagarse a través del metal, o que el campo transmitido es una onda evasiva con cierta profundidad de penetración que depende del índice de refracción del metal.

Si ahora quisiéramos profundizar en la física microscópica de la reflexión, tendríamos que tener en cuenta la estructura cristalina del metal, que impone una determinada estructura de banda electrónica, que a su vez determina la forma en que los electrones responden a la perturbación EM externa. Tendríamos que calcular el campo reflejado a partir de la acción posterior del movimiento de los electrones sobre el campo incidente.

¿Conoce una forma semiclásica de resolver este problema? ¿Es factible calcular numéricamente un conjunto de ecuaciones de Maxwell-Schroedinger acopladas?

Answer 1

Así lo explicaron con mucho éxito los trabajos que Paul Drude inició en 1900 y que Hendrik Lorentz amplió en 1905, culminando en el Modelo Drude-Lorentz que es un modelo clásico. No voy a repasar la derivación sino los puntos principales. Dentro de un metal, los electrones no sienten una fuerza de restauración de la red cuando interactúan con un campo EM. Esto se debe a que se consideran libres. Hace poco tuve una pregunta sobre esto y obtuve una respuesta satisfactoria.

El modelo trata al electrón como un oscilador que es perturbado por la luz a una determinada frecuencia. La ecuación es $$m_0 \frac{d^2 x}{dt^2} + m_0 \gamma\frac{d2 x}{dt} = -eE(t) =-e E_oe^{-i \omega t} $$ $m_0$ es la masa del electorn y $\gamma$ encapsula toda la fricción que experimenta el electrón (colisión, por ejemplo) y y la solución para el desplazamiento es

$$x(t) =\frac{eE(t)}{m_o (\omega^2 - i \gamma \omega)}$$

Utilizando el hecho de que $D = \epsilon_r \epsilon_0 E = \epsilon_0 E + P =\epsilon_0 E -Nex $

se puede obtener la constante dieléctrica del metal como $$\epsilon_r(\omega) =1 - \frac{\omega_p^2}{(\omega^2 - i \gamma \omega)}$$ donde la frecuencia del plasma viene dada por $$\omega_p^2 =\frac{Ne^2}{m_o \epsilon_0}$$

Entonces, utilizando el hecho de que el índice de refracción complejo $\hat n = \sqrt\epsilon_r$ se puede calcular la reflectividad como $$R = |\frac{\hat n-1}{\hat n+1}|^2$$