Potencia del exponencial aproximado de la suma de operadores

Question

Diga $A$ y $B$ son dos operadores no conmutativos en un espacio de Hilbert (pensemos en las matrices, por ejemplo). Entonces, una forma de aproximar $C=e^{A+B}$ es como $\widetilde{C}=e^{A/2}e^{B/2}e^{A/2}e^{B/2}\simeq C$ .

Pregunta: ¿Sostiene que $\widetilde{C}^{2}=e^{A}e^{B}e^{A}e^{B}$ ? No lo hace, ¿verdad?

Answer 1

Tu pregunta es un poco abierta y depende de las normas matriciales implicadas, etc. De manera puramente formal, si se introduce un parámetro t algo me dice que estás interesado en el Fórmula Zassenhaus , $$ e^{t(A+B)}= e^{tB}~ e^{tB} ~e^{-\frac{t^2}{2} [A,B]} \\ \times ~ e^{\frac{t^3}{6}(2[B,[A,B]]+ [A,[A,B]] )} ~ e^{\frac{-t^4}{24}([[[A,B],A],A] + 3[[[A,B],A],B] + 3[[[A,B],B],B]) } \cdots $$

De todos modos, la expresión que escribes es, por aplicación directa de la Fórmula CBH $$ \widetilde{C}=e^{tA/2}e^{tB/2}e^{tA/2}e^{tB/2}= (e^{tA/2}e^{tB/2})^2\\ = ( e^{\frac{t}{2}(A+B)+\frac{t^2}{8}[A,B]+ O(t^3) } )^2 \\ =e^{t(A+B)+ \frac{t^2}{4}[A,B]+ O(t^3) }, $$ que no parece una buena "aproximación". El último paso se desprende del hecho de que el conmutador del exponente consigo mismo al elevar al cuadrado desaparece, por lo que el acto de elevar al cuadrado tiene un degenerado, terminando ¡¡Expansión de CBH!!

Se podría eliminar fácilmente el $O(t^2)$ términos en el exponente considerando $$ e^{tA/2}e^{tB}e^{tA/2} =e^{t(A+B)+ O(t^3) }, $$ en su lugar.