He resuelto el ejercicio 3.6.13 página 40 de Rosenthal Un primer vistazo a la teoría rigurosa de la probabilidad (que debería aparecer al final del capítulo 4 sobre las expectativas). El hecho de que no haya utilizado uno de sus supuestos ( $E(X_n)=0$ para todos $n$ ) me hace dudar de mi solución, o de la existencia de una solución diferente interesante. ¿Podría comprobarlo?
Dejemos que $X_1,X_2,\dots$ se definen conjuntamente en algún espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$ con $E(X_n)=0$ y $E(X_n^2)=1$ para todos $n$ . Demostrar que $P(X_n\ge n\,i.o.)=0$ .
i.o. significa infinitamente a menudo. Para una secuencia $\{A_n\}_n$ de eventos,
$$\{A_n\,i.o.\}=\limsup_nA_n=\bigcap_{i=1}^{+\infty}\bigcup_{j=i}^{+\infty}A_j.$$
Esta es mi solución:
El lema de Borel-Cantelli suele ser útil en estas situaciones. Para resolver el ejercicio, basta con demostrar que $\sum_{n=1}^{+\infty}P(X_n\ge n)$ es finito.
Dejemos que $n\in\mathbb{N}$ . Tenemos:
\begin{aligned} 1&=E(X_n^2)\\ &=\int_\Omega X_n^2\,\mathrm{d}P\\ &=\int_{\{X_n^2<n^2\}}X_n^2\,\mathrm{d}P+\int_{\{X_n^2\ge n^2\}}X_n^2\,\mathrm{d}P\\ &\ge\int_{\{X_n^2\ge n^2\}}X_n^2\,\mathrm{d}P\\ &\ge n^2P(X_n^2\ge n^2). \end{aligned}
Así, $P(X_n^2\ge n^2)\le\dfrac{1}{n^2}$ . Como $\{X_n\ge n\}\subset\{X_n^2\ge n^2\}$ obtenemos $P(X_n\ge n)\le\dfrac{1}{n^2}$ . Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{+\infty}P(X_n\ge n)$ es finito como se desea. ( $E(X_n)=0$ para todos $n$ no se utilizó)
