¿Es correcto multiplicar ambos lados de una ecuación diferenciada por dx?

Question

El lunes empecé Cálculo 2, donde estamos empezando con Integración. Como una especie de repaso, el profesor nos hace encontrar la derivada de varias ecuaciones y escribirlas en la forma

$$\frac{d}{dx}(x^2-4x)=2x-4 \to d(x^2-4x)=(2x-4)dx$$

Entiendo que esto tiene algo que ver con la preparación para entender por qué se ven integrales en forma de

$$\int(2x-4)dx = x^2-4x+C$$

pero me han hecho creer que no se puede hacer esto, porque $\frac{d}{dx}$ no es una fracción.

Answer 1

Piénsalo así:

$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

y, como $\Delta y$ y $\Delta x$ son números reales, entonces multiplicando por $dx$ En realidad sólo estamos multiplicando por, aproximadamente, $\Delta x$ . No pasa nada.

Answer 2

La pregunta correcta es qué $df$ y $dx$ significa en $$d(x^2-4x)=(2x-4)dx?$$ $\frac{df}{dx}$ no es una fracción sino un símbolo, mientras que $df$ y $dx$ son "entidades-símbolos" que sólo tienen sentido en $\frac{df}{dx}$ y no en expresiones como las anteriores, a menos que se les dé un significado independiente (véase Formas diferenciales ) .

Ahora bien, para el Cálculo 2, estos dos símbolos no están (normalmente) rigurosamente definidos, por lo que la afirmación $$d(x^2-4x)=(2x-4)dx$$ tiene poco o ningún sentido. Sin embargo, estas manipulaciones no rigurosas simplifican muchos conceptos de la integración:

Integración por sustitución de forma rigurosa:

Dejemos que $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ sea una función diferenciable tal que $g^{\prime}$ es integrable. Si $I=g([a,b])$ y $f:I\to \mathbb{R}$ es continua, entonces \begin{equation} \int\limits_{a}^{b} (f\circ g)g^{\prime}= \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f\end{equation}

Para que el método anterior sea más sencillo de enunciar se utiliza $du$ y $dx$ por separado:

Integración por sustitución a la manera no rigurosa:

Digamos que queremos evaluar, \begin{equation} \int\limits_{a}^{b} f(g(x))g^{\prime}(x)\, dx\end{equation} Configuración $u=g(x)$ entonces $du=g^{\prime}(x)dx$ y para $x=a$ , $u=g(a)=k$ , para $x=b$ , $u=g(b)=l$ . Así, \begin{equation} \int\limits_{a}^{b} (f(g(x)))g^{\prime}(x)\, dx=\int\limits_{k}^{l} f(u)\, du\end{equation}

Más sencillo que antes, ¿no?

Así que para concluir, no estás haciendo realmente matemáticas rigurosas al multiplicar por " $dx$ ", más bien se juega con los símbolos y se simplifican los resultados.

Answer 3

Df y dx son formas únicas. Esto significa básicamente que actúan sobre vectores (tangentes) para dar números reales: son "duales" a ellos. Así que, en este sentido, son "cosas" reales que podemos manipular por sí mismas: la diferencial df de f, en un punto x_0, se define como un cierto mapa lineal de la variable dx.